人教高中数学A版必修一 4《函数的零点与方程的解 用二分法求方程的近似解 函数模型的应用》.pptx

4.5.1函数的零点与方程的解指数函数与对数函数

一二三一、函数的零点1.已知函数f(x)=2x+6.(1)求方程f(x)=0的解;提示:由2x+6=0,解得x=-3.(2)求函数f(x)的图象与x轴的交点坐标.提示:交点坐标A(-3,0).(3)方程的解与函数图象与x轴的交点的横坐标之间是怎样的关系?提示:相等.

一二三2.填空:函数的零点(1)定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)几何意义:函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标就是函数y=f(x)的零点.3.函数y=f(x)的零点是点吗?为什么?提示:不是.函数的零点的本质是方程f(x)=0的实数根,因此,函数的零点不是点,而是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,函数值为零.4.你能说出函数①y=lgx;②y=lg(x+1);③y=2x;④y=2x-2的零点吗?提示:①y=lgx的零点是x=1;②y=lg(x+1)的零点是x=0;③y=2x没有零点;④y=2x-2的零点是x=1.

一二三5.做一做:函数f(x)=x2-1的零点是()A.(±1,0) B.(1,0)C.0 D.±1解析:解方程f(x)=x2-1=0,得x=±1,因此函数f(x)=x2-1的零点是±1.答案:D

一二三二、方程、函数、图象之间的关系1.考察下列一元二次方程与对应的二次函数:①方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3;②方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1;③方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3.(1)你能够画出关于上述方程的根,函数图象与x轴的交点及函数的零点的表格吗?

一二三提示:

一二三(2)从你所列的表格中,你能得出什么结论?提示:方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点.

一二三三、函数零点存在性定理1.观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象,发现这个二次函数在区间[-2,1]上有零点x=-1,而f(-2)0,f(1)0,即f(-2)·f(1)0.二次函数在区间[2,4]上有零点x=3,而f(2)0,f(4)0,即f(2)·f(4)0.由以上两步探索,你可以得出什么样的结论?提示:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.2.填空:函数零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.

一二三3.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是间断的,上述定理成立吗?提示:不一定成立,由下图可知.4.反过来,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,函数y=f(x)在区间(a,b)上存在零点,f(a)·f(b)0是否一定成立?提示:不一定成立,由二次函数f(x)=x2-2x+1的图象可知.

一二三5.判断正误:函数y=f(x)的图象是在闭区间[a,b]上连续的曲线,若f(a)·f(b)0,则f(x)在区间(a,b)内没有零点.()答案:×6.做一做:函数f(x)=x3+2x+1的零点一定位于下列哪个区间上()A.[-2,-1] B.[-1,0]C.[0,1] D.[1,2]解析:因为f(-2)=-110,f(-1)=-20,f(0)=10,f(1)=40,f(2)=130,所以f(-1)f(0)0.所以f(x)的零点在区间[-1,0]上.答案:B

探究一探究二探究三思想方法随堂演练求函数的零点例1判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点.(1)f(x)=-8x2+7x+1;(2)f(x)=1+log3x;(3)f(x)=4x-16;分析:可通过解方程f(x)=0求得函数的零点.

探究一探究二探究三思想方法随堂演练(3)令4x-16=0,即4x=42,解得x=2.所以函数的零点为2.反思感悟因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解,也是函数y=f(x)的图象与x轴公共点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴公共点的横坐标即为函数的零点.

探究一探究二探究三思想方法随堂演练变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)的零点.解:由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的实