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第六节高阶线性微分方程

一、二阶线性微分方程举例

二、线性齐次方程解的结构

三、线性非齐次方程解的结构

一、二阶线性微分方程举例

【例1】质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,

当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,若用手向

下拉物体使它离开平衡位置后放开,物体在弹性力与阻

力作用往复,阻力的大小与速度

成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.

【解】

取平衡时物体的位置为坐标原点,

建立坐标系如图.设时刻t物位移为x(t).o

(1)自由振动情况.物体所受的力有:x

弹性恢复力(虎克定律)x

2

阻力

据第二定律得

令2n,k2c,则得有阻尼自由振动方程:

mm

d2xdx

2

+2n+kx0

dt2dt

(2)强迫振动情况.若物体在过程中还受铅直外力

FHsinpt作用，令hH则得强迫振动方程:

m

d2xdx

+2n+k2xhsinpt

dt2dt

3

【例2】设有一个电阻R,自感L,电容C和电源E串

联组成的电路,其中R,L,C为常数,

求电容器两两极板间电压uc所满足的微分方程.

［提示］设电路中电流为i(t),极板R

上的电量为q(t),自感电动势为EL,i

L~

由电学知E∼

由电学知C

‖

+q−qK

根据回路电压定律:

在闭合回路中,所有支的电压降为0

diq

E−L−−Ri