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7.7空间几何体中求夹角
【题型解读】
【知识必备】
1.异面直线所成的角
若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则cosθ=|cos〈u,v〉|=eq\f(|u·v|,|u||v|).
2.直线与平面所成的角
如图,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sinθ=|cos〈u,n〉|=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·n,|u||n|)))=eq\f(|u·n|,|u||n|).
3.平面与平面的夹角
如图,平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.
若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ,则cosθ=|cos〈n1,n2〉|=eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).
【题型精讲】
【题型一异面直线所成的角】
技巧方法用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系;
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量;
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值;
(4)注意两异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.
例1(2023·陕西安康·高三期末)在三棱锥P—ABC中,PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC,M、N分别为AC、AB的中点,则异面直线PN和BM所成角的余弦值为(???????)
A. B. C. D.
例2(2023·江苏南通市高三模拟)如图,在四棱锥中,四边形为直角梯形,并且,,底面,已知,四边形的面积为.
(1)证明:直线平面;
(2)点为棱的中点,当直线与平面所成的角为时,求直线与所成角的余弦值.
【跟踪精练】
1.(2023·陕西高三模拟)已知直三棱柱的所有棱长都相等,为的中点,则与所成角的正弦值为(???????)
A. B. C. D.
2.(2023·海原县高三模拟)底面为正三角形的直棱柱中,,,,分别为,的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为()
A. B. C. D.
3.(2023·山西·太原五中高一阶段练习)如图,在直角梯形中,,.已知.将沿直线翻折成,连接.当三棱锥的体积取得最大值时,异面直线与所成角的余弦值为___________;若此时三棱锥外接球的体积为,则a的值为___________.
【题型二直线与平面所成的角】
技巧方法利用空间向量求线面角的解题步骤
例3(2023·全国高三模拟)如图,四棱锥的底面是梯形,,,E为线段中点.
(1)证明:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
例4(2023·河北衡水中学高三模拟)已知四棱锥的底面是菱形,对角线、交于点,,,底面,设点满足.
(1)若三棱锥体积是,求的值;
(2)若直线与平面所成角的正弦值是,求的值.
【跟踪精练】
1.(2023·安徽·合肥市第六中学高一期中)如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,,M,N分别为的中点,.
(1)证明:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
2.(2023·全国高三模拟)如图所示,在三棱柱中,,点在平面的射影为线段的中点,侧面是菱形,过点,,的平面与棱交于点.
(1)证明四边形为矩形;
(2)若与平面所成角的正切值为,求与平面所成角的正弦值.
【题型三平面与平面的夹角】
技巧方法利用空间向量求平面与平面夹角的解题步骤
例5(2023·江西高三模拟)如图,是边长为的等边三角形,E,F分别是的中点,G是的重心,将沿折起,使点A到达点P的位置,点P在平面的射影为点G.
(1)证明:;
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
例6(2023·重庆八中高三阶段练习)已知正方体,点为中点,直线交平面于点.
(1)证明:点为的中点;
(2)若点为棱上一点,且二面角的余弦值为,求的值.
【题型精练】
1.(2023·全国·高三专题练习)如图,在直三棱柱中,为的中点.
(1)证明:平面.
(2)若,求二面角的余弦值.
2.(2023·全国·高三专题练习)如图,在三棱台中,侧棱平面点在棱上,且
(1)证明:平面;
(2)当二面角的余弦值为,求的值.
【题型四空间角的综合运用】
例7(2023·山东·模拟预测)(多选)已知正方体的边长为2,M为的中点,P为侧面上的动点,且满足平面,则下列结论正确的是(???????)
A. B.平面
C.与所成角的余弦值为 D.动点P的轨迹长为
例8(2023·福建·三明一中模拟预测)如图,正
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