高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.4椭圆及其性质(精讲)(原卷版+解析).docxVIP

8.4椭圆及其性质

【题型解读】

【知识必备】

1．椭圆的定义

把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．

2．椭圆的简单几何性质

焦点的位置

焦点在x轴上

焦点在y轴上

图形

标准方程

eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)

eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(ab0)

范围

－a≤x≤a且－b≤y≤b

－b≤x≤b且－a≤y≤a

顶点

A1(－a，0)，A2(a，0)

B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，

A2(0，a)

B1(－b，0)，

B2(b，0)

轴长

短轴长为2b，长轴长为2a

焦点

F1(－c，0)，F2(c，0)

F1(0，－c)，F2(0，c)

焦距

|F1F2|＝2c

对称性

对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点

离心率

e＝eq\f(c,a)(0e1)

a，b，c的关系

a2＝b2＋c2

常用结论

椭圆的焦点三角形

椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.

(1)当P为短轴端点时，θ最大，最大．

(2)＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|.

(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.

(4)|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2.

(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.

【题型精讲】

【题型一椭圆的定义及应用】

例1(2023·全国·高三专题练习）下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)

①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝eq\r(2)的点P的轨迹为椭圆；

②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；

③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆．

例2（1）(2023·福建高三期末）如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（）

B． C． D．

（2）(2023·江苏省苏州实验中学高三期中）方程表示椭圆，则实数的取值范围（）

A． B． C． D．且

例3已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()

A.eq\f(x2,64)－eq\f(y2,48)＝1 B.eq\f(y2,64)＋eq\f(x2,48)＝1

C.eq\f(x2,48)－eq\f(y2,64)＝1 D.eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1

例4(2023·全国高三模拟）已知椭圆，，，点是椭圆上的一动点，则的最小值为（）

A． B． C． D．

【跟踪精练】

1.(2023·全国·高三专题练习）“是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2.(2023·深圳模拟)已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（）

A．1 B．－1 C． D．

3.(2023·全国高三模拟）已知平面内两个定点和点，是动点，且直线,的斜率乘积为常数，设点的轨迹为.

①存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；

②存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；

③不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；

④不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.

其中正确的命题是_______________.（填出所有正确命题的序号）

【题型二焦点三角形问题】

例5(2023·青岛高三模拟）椭圆的焦点为点在椭圆上，若则的大小为___．

例6(2023·山东日照高三模拟）已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（????）

A． B． C． D．

例7(2023·重庆一中高三期中）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于P，Q两点，则的周长为______．

【跟踪精练】

1.(2023·武功县普集高级中学期末）已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且．若的面积为9，则____________．

2.(2023·全国高三模拟）设点是椭圆上的点，，是该椭圆的两个焦点，若的面积为，则_______．

【题型三椭圆的标准