【精品】概率论与数理统计课件第四章-数学期望和方差.pptxVIP

第四章数学期望和方差;随机变量的平均取值——

数学期望

随机变量取值平均偏离平均值的

情况——方差

描述两个随机变量之间的某种关

系的数——协方差与相关系数;引例:测量50个圆柱形零件直径（见下表）;换个角度看，从这50个零件中任取一个，它

的尺寸为随机变量X,则X的概率分布为;定义1.1：设离散型随机变量X的概率分布为;常见离散型随机变量的数学期望;(3)泊松分布X的所有可能取值为0,1,2,…,且;(4)几何分布X的可能取值为1,2,…,且

P(X=k)=(1-p)k-1p,k=1,2,….;例1：;例1（续）;例2.对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产品不合格，并结束抽样。若抽样到第n件仍未发现废品则认为这批产品合格。假设产品数量很大，抽查到废品的概率是p，试求平均需抽查的件数。;例2.（续）;定义1.2：设X为连续型随机变量,其密度

函数为，若积分;(5)区间(a,b)上的均匀分布;(6)正态分布N(μ,σ2);(7)指数分布E(?);注意：不是所有的随机变量都有数学期望;定理1.1.设X的数学期望有限，概率密度f(x)关于对称，f(+x)=f(-x)。则E(X)=。;;设已知随机变量X的分布，我们需要计算

的不是X的数学期望，而是X的某个函数的

数学期望，比如说g(X)的数学期望.那么应

该如何计算呢？;一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出.一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照数学期望的定义把E[g(X)]计算出来.;那么是否可以不先求出g(X)的分布而只根据X的分布直接求得E[g(X)]呢？;随机向量函数的数学期望;随机向量函数的数学期望（续）;一维情形;例4.设离散型随机向量X的概率分布如下表所示,求:Z=X2的期望.;例5:设随机变量X服从二项分布B(n,p),

Y=eaX,求E(Y)。;例6.设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布如下表所示,求:Z=X2+Y的期望.;例7:设(X,Y)的联合分布律为;注意到二项分布B(n,p)的数学期望,就有;例8:设X~U[0,?],Y=sinX,求E(Y)。;例9设二维随机变量(X,Y)的密度函数为;;;35;解：;37;最终，;例11.假设由自动线加工的某种零件的内径X(mm)~N(?,1).已知销售每个零件的利润T(元)与销售零???的内径X有如下的关系：;解：;即：;解：(1)设整机寿命为N,;即N~E(5?),;可见，并联组成整机的平均寿命比串联组成整机的平均寿命长11倍之多.;E(C)=C;性质4的逆命题不成立，即;;若X≥0，且EX存在，则EX≥0。;性质2和3;例2.(二项分布B(n,p))设单次实验成功的概率是p，问n次独立重复试验中，期望几次成功？;例3:将4个可区分的球随机地放入4个盒子

中，每盒容纳的球数无限，求空着的盒子

数的数学期望.;解二:再引入Xi,i=1,2,3,4.;例4.将n个球放入M个盒子中,设每个球落入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数X的期望。;因为每个球落入各个盒子是等可能的均为1/M,所以，对第i个盒子,没有一个球落入这个盒子内的概率为

(1-1/M).;;例5.（续）;例6.某厂家的自动生产线，生产一件正品的概率为p(0p1)，生产一件次品的概率为q=1-p。生产一件产品的成本为c元，正品的价格为s元，次品不能出售。这样，厂家生产一件正品获利s－c元，生产一件次品亏损c元（假定每个产品的生产过程是相互独立的）。若生产了N件产品，问厂家所获利润的期望值是多少？;则为N件产品的总利润。;作业：

127页4.1;4.7;4.8；4.9。;;例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：;例如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：;为此需要引进另一个数字特征，用它来度量随机变量取值相对于其中心的离散程度.;设随机变量X的数学期望为E(X),若E(X-E(X))2存在,则称它为X的方差(此时，也称X的方差存