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河北省NT20名校2023-2024学年高一下学期大比拼考试（5月期中）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在复平面内，设i是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点位于（????）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．在中，为边上的中点，是上靠近的四等分点，则（????）

A． B．

C． D．

3．已知，，，则在上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

4．下列命题中正确的是（????）

A．若直线l平行于平面内的无数条直线，则

B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；

C．若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线

D．若直线，和平面满足，；则

5．在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（????）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

6．武安舍利塔，位于河北省邯郸市武安塔西路2号，始建于北宋（960～1127年），为原妙觉寺附属建筑．曾经历多次地震，清道光十年（1830年）的大地震，塔附近建筑全毁，唯此塔安全无恙．2019年10月7日，武安舍利塔被中华人民共和国国务院公布为第八批全国重点文物保护单位．如图，我校高一某学生进行实践活动，选取了与塔基B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在C点测得舍利塔在北偏东75°的点B处，塔顶A的仰角为45°，在D点测得舍利塔在北偏西60°，通过计算得塔高AB为38m，则两个测量基点之间的距离CD（单位：m）为（????）

A． B． C． D．

7．在中，内角A，B，C的对边分别是，，，，，是外接圆圆外一点，，则的最大值是（????）

A．5 B．8 C．10 D．12

8．平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的，，，则在直观图中，以下说法正确的是（????）

A． B．的面积为

C．边上的高为 D．边上的高为

10．如图，在中，BD与EC交于点G，E是AB的靠近B的三等分点，D是AC的中点，且有，，则下列命题正确的是（????）

??

A．

B．

C．

D．过G作直线MN分别交线段AB，AC于点M，N，设，（，），则的最小值为2．

11．如图，圆台，在轴截面中，，H，F为圆上定点，且，M为AD中点，C，H，F，M四点共面．则（????）

A．该圆台高为

B．该圆台体积为

C．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到M点，所经过的最短路径为5

D．

三、填空题

12．已知圆锥的母线长为2，其外接球表面积为，则圆锥的高为．

13．若复数，满足，，则的最小值为．

14．在中，在线段上，为的平分线且，，则的最小值为．

四、解答题

15．已知非零向量和不共线．

(1)如果，，，求证：A，B，D三点共线；

(2)若向量与平行，求实数k的值．

16．在复平面内复数，，其所对应的点为，，为坐标原点，是虚数单位．

(1)求与；

(2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根．

17．如图所示：在长方体中，，，E、F分别是面，中心，G，H分别是，的中点.

(1)证明：面面；

(2)证明：面.

18．已知中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c；

(1)若满足，求证：．

(2)若在中，；

①BC边上的中线，求的面积的最大值．

②如图所示为等边三角形，，求当c为多少时，DE取得最大值．

19．1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和最小．它的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角），该点称为费马点．试用以上知识解决下面问题：

(1)在中，若，，；

①求的面积；

②点P为的费马点，求；

(2)在中，若，点Q为的费马点，，求实数t的最小值．

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参考答案：

1．C

【分析】由，得，然后根据共轭复数的定义，再确定在复平面内对应的点所在的象限．

【详解】由题意知，，

其共轭复数为，

所以在复平面内对应的点为，位于第三象限．

故选：