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第二节定积分的几何应用
一、平面图形的面积
1.直角坐标系情形
一般情况，设平面图形由上连续的两条曲线与及两条直线
所围成.
在上任取小区间
与它相对应的小曲边梯形的面积的近似值为面积元素
可用高为
底为的矩形面积近似
表示，即
故
a
b
当很小时
例1计算由两条抛物线：所围成的
图形的面积.
例2计算抛物线与直线所围成的
图形的面积.
由此可见在面积计算中，应根据平面区域的具体特征恰当地选择积分变量找出相应的面积元素，使计算简化.
2.极坐标情形
设由曲线及射线
围成一图形(简称曲边扇形)，现在
计算它的面积.这里在
上连续，且
取极角为积分变量.相应于任一小区间
的窄曲边扇形的面积可以用半径为中心角
为的圆扇形的面积来近似代替，即曲边扇形的
面积元素
从而所求曲边扇形面积为
例3计算心形线所围成的
图形的面积.
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
二.体积
1.旋转体的体积
一般地，如果旋转体是由连续曲线直
线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一
周而成的立体.体积为多少？
取积分变量为
在上任取小区间
取以为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄片的体积
为体积元素.
旋转体体积为
x
y
o
例4计算由椭圆所围成的图形绕轴
旋转一周而成的旋转体的体积.
类似地，由连续曲线及直线
与轴所围成的曲边梯形，绕轴旋转一周而成的旋
转体的体积为
2.平行截面面积为已知的立体的体积
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.
表示过点且垂直
于轴的截面面积.
为的已知的连续函数.
立体体积
三、平面曲线弧长
①直角坐标情形
弧长
设曲线弧为
其中在上有一阶连续
导数，
②参数方程情形
曲线弧为由参数方程给出，
其中在上具有连续导数.
弧长
③极坐标情形
曲线弧由极坐标方程给出，其中在
上具有连续导数，
弧长
例5计算曲线上相应于从到的一段弧
的长度.
例6计算摆线的一拱
的长度.
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