部编数学八年级上册全等变化模型六半角模型（解析版）含答案.pdfVIP

全等变化模型六半角模型

【模型展示】

1

四方形ABCD中，BCDC，BD180，ECFBCD

【模型条件】

2

①EFBEFD

【模型结论】

②CF平分EFD，CE平分BEF

证明：

【模型应用】

【模型巩固】

【例6-1】如图，正方形ABCD中，∠EAF的两边分别与边BC、CD交于点E、F，AE、AF分别交BD

于点G、H，且∠EAF＝45°．

（1）当∠AEB＝55°时，求∠DAH的度数；

（2）设∠AEB＝α，则∠AFD＝（用含α的代数式表示）；

（3）求证：∠AEB＝∠AEF．

【解答】解：（1）由ABCD为正方形，则∠DAB＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，

当∠AEB＝55°时，∠EAB＝90°﹣∠AEB＝90°﹣55°＝35°，

∴∠DAH＝90°﹣∠EAF﹣∠EAB＝90°﹣45°﹣35°＝10°，

（2）由四边形ABCD为正方形可知，∠ABE＝∠ADF＝∠BAD＝90°，

∵∠AEB＝α，∴∠EAB＝90°﹣α，

∴∠DAF＝∠BAD﹣∠EAB﹣∠EAF＝90°﹣（90°﹣α）﹣45°＝α﹣45°，

∴∠AFD＝90°﹣∠DAF＝90°﹣（α﹣45°）＝135°﹣α．

故答案为：135°﹣α．

（3）证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABI，

可得E、B、I三点共线，

由旋转可知∠DAF＝∠BAI，AF＝AI，

∵∠DAF+∠EAB＝90°﹣∠EAF＝45°，

∴∠BAI+∠EAB＝45°＝∠IAE，

在△EAF和△EAI中，

，

∴△EAF≌△EAI（SAS）．

∴∠AEF＝∠AEI＝∠AEB．

【例6-2】在正方形ABCD中，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN，垂足为H，若M、N分别在边CB、DC

的延长线上移动．

①试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系．

②求证：AB＝AH．

【解答】解：①DN﹣BM＝MN．

证明如下：

如图，

在DC上截取DF＝BM，连接AF，

△ABM和△ADF中

，

∴△ABM≌△ADF（SAS），

∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，

∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝90°，即MAF＝∠BAD＝90°，

∵∠MAN＝45°，

∴∠MAN＝∠FAN＝45°，

在△MAN和△FAN中

，

∴△MAN≌△FAN（SAS），

∴MN＝NF，

∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，

∴DN﹣BM＝MN；

②∵△MAN≌△FAN，

∴∠HNA＝∠DNA，

∵∠H＝∠D＝90°，AN＝AN，

∴△AHN≌△ADN（AAS），

∴AD＝AH，

∵AD＝AB，

∴AH＝AB．

【例6-3】如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，4），A（4，

4），过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点

（1）若OF+BE＝AB，求证：CF＝CE．

（2）如图（2），且∠ECF＝45°，S△ECF＝6，S△BEF的值．

【解答】解：（1）证明：∵AB⊥x轴，AC⊥y轴

∴