第40讲重难点突破03 解三角形中的范围与最值问题（十七大题型）（原卷版）-2025数学一轮复习（含2024年高考真题+回归教材）.pdf

重难点突破03解三角形中的范围与最值问题

目录

01方法技巧与总结2

02题型归纳与总结2

题型一：周长问题2

题型二：面积问题4

题型三：长度和差比问题5

题型四：转化为角范围问题6

题型五：倍角问题7

题型六：角平分线问题与斯库顿定理8

题型七：中线问题9

题型八：四心问题10

题型九：坐标法12

题型十：隐圆（阿波罗尼斯圆）问题12

题型十一：两边逼近思想13

题型十二：转化为正切有关的最值问题13

题型十三：最大角（米勒问题）问题14

题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题16

题型十五：托勒密定理及旋转相似18

题型十六：三角形中的平方问题19

题型十七：等面积法、张角定理20

03过关测试21

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1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，

通常有下列五种解题技巧：

（1）利用基本不等式求范围或最值；

（2）利用三角函数求范围或最值；

（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；

（4）根据三角形解的个数求范围或最值；

（5）利用二次函数求范围或最值．

要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函

数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形

自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大．

2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：

（）求角的最值；

1

（）求边和周长的最值及范围；

2

（3）求面积的最值和范围．

题型一：周长问题

【典例1-1】（2024·全国·二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

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2acosAbcosCccosB，且a4sinA，则△ABC周长的最大值为（）

A．42B．62C．43D．63

ABCABabc

【典例1-2】（2024·广西河池·模拟预测）已知中角，，的对边分别为，，，且

C

2ccosAacosBbcosA.

A

(1)求角；

ABCB

(2)若，求的周长的最大值，并求出此时角，角的大小.

a3C

【变式1-1】（2024·江西南昌·三模）在锐角ABC中，a23，(2bc)cosAacosC，

(1)求角A；

(2)求ABC的周长的范围l.

【变式】（广东广州一模）ABC的内角，，的对边分别为，，且满足a2，

1-22024··ABCabc

acosB2cbcosA

．

求角的大小；

(1)A

(2)求ABC周长的范围．

【变式1-3】（2024·贵州贵阳·模拟预测）记ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

222

abcacosBbcosAabc

．

(1)求C；

(2)若ABC为锐角三角形，c2，求ABC周长范围．