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2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷（3）

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题

1．[2024届·安徽马鞍山·模拟考试]已知S是全体复数集C的一个非空子集，如果，总有，，，则称S是数环.设F是数环，如果①F内含有一个非零复数；②，且，有，则称F是数域.由定义知有理数集Q是数域.

（1）求元素个数最小的数环；

（2）证明：记，证明：是数域；

（3）若，是数域，判断是否是数域，请说明理由.

答案：（1）；

（2）证明见详解；

（3）不一定数域，证明见详解

解析：（1）因为为数环，可知不是空集，即中至少有一个元素，

若，则，可知为数环；

若，则，可知中不止一个元素，不是元素个数最小的数环；

综上所述：元素个数最小的数环为.

（2）设，，，可知，则有：

，

，

，

因为，则，，，，，，

可知，，，所以是数环；

若，可知，满足①；

若，则，

因为，则，

可知，满足②；

综上所述：是数域.

（3）不一定是数域，理由如下：

①若，，显然，均为数域，且是数域；

②设，，，可知，则有：

，

，

，

因为，则，，，，，，

可知，，，所以是数环；

若，可知，满足①；

若，则，

因为，则，，

可知，满足②；

综上所述：是数域.

例如：，，例如，，

但，

所以不是数域；

综上所述：不一定数域.

2．在平面直角坐标系中，两点，的“曼哈顿距离”定义为，记为，如点，的“曼哈顿距离”为5，记为.

（1）若点，M是满足的动点Q的集合，求点集M所占区域的面积.

（2）若动点P在直线上，动点Q在函数的图像上，求的最小值.

（3）设点，动点Q在函数的图像上，的最大值记为，求的最小值.

答案：（1）8

（2）3

（3）

解析：（1）设点.

由，得.

的图像是以原点为中心，顺次连接四点，，，所形成的正方形.

将其上移2个单位长度即得的图像.

所以点集M所占区域是以四点，，，为顶点的正方形及其内部，面积为8.

（2）设，，则.

将看成关于的函数，则在或时取得最小值，

即.

令，则.

当时，；

当时，.

所以在上单调递减，在上单调递增，

则，此时.

所以的最小值为3.

（3）设点，，则，.

若存在实数a，b，使，则对任意的成立.

令，则.

令，则.

所以，

所以.

令，，则是上的偶函数.

当时，若，即，则，当且仅当时等号成立；

若，则，当且仅当时等号成立.

所以存在实数a，b且，，使得的最小值为.

3．已知定义域为的函数满足如下条件：①对任意的，总有；②；③当，，时，恒成立.已知正项数列满足，且，，令.

（1）求数列，的通项公式；

（2）若，求证：.

答案：（1）的通项公式；的通项公式

（2）证明见解析

解析：（1）不妨设，则，

，

，

若，即，

此时，这与矛盾，

，故，

，在区间上单调递减，

，.

已知，

两边同时除以，化简可得，即，

是以为首项，4为公比的等比数列，.

又，，

当时，

.

又当时，，

故.

（2）由（1）可得.

当时，，且，

，，

又，

，即，

，

，即，

，

.

4．对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量.特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，（，），若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关.否则，称为线性无关.

（1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.

①，；②，，；③，，，.

（2）已知向量，，线性无关，判断向量，，是线性相关还是线性无关，并说明理由.

（3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明下列结论：

①如果存在等式（，），则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零；

②如果两个等式，（，，）同时成立，其中，则.

答案：（1）①，线性相关，②，，线性相关，③，，，线性相关

（2）向量，，线性无关，理由见解析

（3）证明见解析

解析：（1）对于①，设，则可得，所以，线性相关；

对于②，设，则可得，所以，，

所以，，线性相关；

对于③，设，则可得，

可取，符合该方程，所以，，，线性相关.

（2）设，

则，

因为向量，，线性无关，所以，解得，

所以向量，，线性无关.

（3）证明：①，如果某个，，2，…，m，

则，

因为任意个都线性无关，所以，，…，，，…，都等于0，

所以这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零，

②因为，所以，，…，全不为零，

所以由可得，

代入可得，

所以，

所以，，，

所以.

5．我们将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”.已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，上顶点为D.

（1）若椭圆与椭圆E在“一簇椭圆系”中，求常数s的值；

（2）设椭圆，过A作斜率为的直线与椭圆G有且只有一个公共点，过D作斜率为的直线与椭圆G有且只有一个公共点