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2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷（4）

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题

1．交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用.设A，B，C，D是直线l上互异且非无穷远的四点，则称（分式中各项均为有向线段长度，例如）为A，B，C，D四点的交比，记为.

（1）证明：；

（2）若，，，为平面上过定点P且互异的四条直线，，为不过点P且互异的两条直线，与，，，的交点分别为，，，，与，，，的交点分别为，，，，证明：；

（3）已知第（2）问的逆命题成立，证明：若与的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则与对应边的交点在一条直线上.

答案：（1）证明见解析

（2）证明见解析

（3）证明见解析

解析：（1）

.

（2）

.

（3）设与交于X，与交于Y，与交于Z，

连接，与交于L，与交于M，与交于N，

欲证X，Y，Z三点共线，只需证Z在直线上.

考虑线束，，，，由第（2）问知，

再考虑线束，，，，由第（2）问知，

从而得到，

于是由第（2）问的逆命题知，，，交于一点，即为点Z，

从而过点Z，故Z在直线上，X，Y，Z三点共线.

2．[2024春·高一·重庆·月考]若非空集合A与B,存在对应关系f,使A中的每一个元素a,B中总有唯一的元素b与它对应,则称这种对应为从A到B的映射,记作．

设集合,（,）,且．设有序四元数集合,且,．对于给定的集合B,定义映射,记为,按映射f,若,则;若,则．记．

（1）若,,写出Y,并求;

（2）若,,求所有的总和;

（3）对于给定的,记,求所有的总和（用含m的式子表示）．

答案：（1）,

（2）40

（3）

解析：（1）由题意知,,

所以．

（2）对1,-3,5是否属于B进行讨论：

①含1的B的个数为,此时在映射f下,;

不含1的B的个数为,此时在映射f下,;

所以所有Y中2总个数和1的总个数均为10;

②含5的B的个数为,此时在映射f下,;

不含5B的个数为,此时在映射f下,;

所以所有Y中6的总个数和5的总个数均为10;

②含的B的个数为,此时在映射f下,,;

不含的B的个数为,此时在映射f下,,;

所以所有y中的总个数和的总个数均为20．

综上,所有的总和为．

（3）对于给定的,考虑在映射f下的变化．

由于在A的所有非空子集中,含有的子集B共个,

所以在映射f下变为;

不含的子集B共个,在映射f下变为;

所以在映射f下得到的所有的和为．

同理,在映射f下得到的所有的和．

所以所有的总和为．

3．人类对地球形状的认识经历了漫长的历程.古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又认为地球是个圆球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到1739年才为南美和北欧的弧度测量所证实.其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，发现纬度越高，每度子午线弧长越长的事实，这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符.地球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在空间直角坐标系下，椭球面（，，），这说明椭球完全包含在由平面，，所围成的长方体内，其中a，b，c按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴.某椭球面与坐标面的截痕是椭圆.

（1）已知椭圆在其上一点处的切线方程为.过椭圆E的左焦点作直线l与椭圆E相交于A，B两点，过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求面积的最小值.

（2）我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.当时，椭球面围成的椭球是一个旋转体，类比计算球的体积的方法，运用祖暅原理求该椭球的体积.

答案：（1）

（2）

解析：（1）椭圆E的标准方程为，则.

当直线l的倾斜角为0时，A，B分别为椭圆的左、右顶点，此时两切线平行无交点，不符合题意，所以直线l的倾斜角不为0.

设直线，，.

由得，

则，，，

所以

.

又椭圆E在点A处的切线方程为，在点B处的切线方程为，

由得，

代入①得，所以.

因为点M到直线l的距离，

所以.

设，则，

令，则，所以在上单调递增，

所以当，即时，的面积最小，最小值是.

（2）椭圆E的焦点在x轴上，长半轴长为，短半轴长为1，椭球由椭圆E及其内部绕x轴旋转而成旋转体.

构造一个底面半径为1，高为的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体.

当平行于底面的截面与圆锥顶点距离为时，设小圆锥底面半径为r，

则，即，所以新几何体的截面面积为.

把代入，得，解得，

所以半椭球的截面面积为.

由祖暅原理，得椭球的体积.

4．已知函数