2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷（6）.docx

2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷（6）

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题

1．已知数列、、…、，其中、、…、是首项为1，公差为1的等差数列；、、…、是公差为d的等差数列；、、…、是公差为的等差数列.

（1）若，求d；

（2）试写出关于d的关系式，并求的取值范围；

（3）续写已知数列，使得、、…、是公差为的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

答案：（1）

（2），且的取值范围是

（3）答案见解析

解析：（1）由已知可得，.

（2），，

因为，.

（3）所给数列可推广为无穷数列，其中、、…、是首项为1，公差为1的等差数列，

当时，数列、、…、是公差为的等差数列，

研究的问题是：试写出关于d关系式，并求的取值范围.

研究的结论可以是：由，

依次类推可得，

当时，的取值范围为.

2．[2024届·河南·模拟考试联考]在空间解析几何中,可以定义曲面（含平面）S的方程,若曲面S和三元方程之间满足：①曲面S上任意一点的坐标均为三元方程的解;②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面S上,则称曲面S的方程为,方程的曲面为S.已知空间中某单叶双曲面C的方程为,双曲面C可视为平面xOz中某双曲线的一支绕z轴旋转一周所得的旋转面,已知直线l过C上一点,且以为方向向量.

（1）指出xOy平面截曲面C所得交线是什么曲线,并说明理由;

（2）证明：直线l在曲面C上;

（3）若过曲面C上任意一点,有且仅有两条直线,使得它们均在曲面C上.设直线在曲面C上,且过点,求异面直线l与所成角的余弦值.

答案：（1）以原点O为圆心,1为半径的圆

（2）点P的坐标总是满足曲面C的方程,从而直线l在曲面C上

（3）

解析：（1）根据坐标平面xOy内点的坐标的特征可知,坐标平面xOy的方程为,

已知单叶双曲面C的方程为,

当时,平面截曲面C所得交线上的点满足,

从而平面截曲面C所得交线是平面上,以原点O为圆心,1为半径的圆.

（2）设是直线l上任意一点,

由,均为直线l的方向向量,得,从而存在实数,使得,

即,

则解得

所以点P的坐标为,

于是,

因此点P的坐标总是满足曲面C的方程,从而直线l在曲面C上.

（3）直线在曲面C上,且过点,

设是直线上任意一点,直线的方向向量为,

由,均为直线的方向向量,得,

从而存在实数t,使得,即,

则解得

所以点M的坐标为,

因为点M在曲面C上,所以,

整理得,

因为M为直线任意一点,所以对任意的t,有恒成立,

所以,且,

所以,或,,

不妨取,则,或,,

所以,或,

又直线l的方向向量为,

所以异面直线l与所成角的余弦值为.

3．[2024届·贵州黔南州·二模]1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元n次多项式方程在复数域上至少有一根（）.此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基础作用.由此定理还可以推出以下重要结论：n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）.对于n次复系数多项式，其中，，，若方程有n个复根，，，，

则有如下的高阶韦达定理：

(1)在复数域内解方程；

(2)若三次方程的三个根分别是，，（i为虚数单位），求a，b，c的值；

(3)在的多项式中，已知，，，a为非零实数，且方程的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含n的式子表示）.

答案：(1)；

(2)，，；

(3)

解析：（1）由可得，解得.

（2）由题意可知：，

将，，代入可得，

所以，，.

（3）设，，，

因为，当且仅当时，等号成立，

可得，

即，

当且仅当时，等号成立，

因为方程的根恰好全是正实数，

设这n个正根分别为，，，，

且，，，

由题意可知：，

因为，且，，，均为正数，

则

，

当且仅当时，等号成立，

又因为，

即，

所以.

4．悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①，②和角公式：，③导数：定义双曲正弦函数.

（1）直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；

（2）若当时，恒成立，求实数a的取值范围；

（3）求的最小值.

答案：（1）答案见解析

（2）

（3）0

解析：（1）平方关系：；

和角公式：；

导数：.

理由如下：平方关系，，

，

，

和角公式：

，

故.

导数：，.

（2）构造函数，，由（1）可知，

i.当时，由可知，

故，故单调递增，

此时，故对任意，恒成立，满足题意；

ii.当时，令，，

则，可知单调递增，

由与可知，存在唯一，使得，

故当