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1定义(P6)说明:称为n阶行列式,简记为det(aij)或|aij|n.§1.3n阶行列式(n-determinant)(1)D展开后为n!项之代数和,正项与负项各有(n!)/2个(不计本身正负).(2)和式的每一项是位于不同行不同列的n个元素之积.
2(4)二、三阶行列式的5条性质全部适用于n阶行列式.(3)和式的每一项前由行标为自然数顺序时列标所成排列的奇偶性冠以“-”、“+”.
3性质1.D=DT.性质2.D=-D1(两行(列)交换).性质3.D=kD1(一行(列)提公因子).性质4.D=D1+D2(一行(列)拆两个行列式).性质5.D=D1(一行(列)的倍数加到另一行(列)上,行列式的值不变).注:性质2,3,5用于计算,性质1常用于证明,性质4也用于计算但不常用.
4例1.下列各项哪为4阶行列式的项?若是应带什么符号?s(1342)=2+s(4123)=3-s(2341)=3.s(2413)+s(1342)=3+2.列标为自然数顺序时,相应行标排列对应的逆序数:行、列标为“自然”顺序时,相应排列对应的逆序数:
5No!No!
6例2证明(1)主对角行列式(2)次对角行列式
7由定义可得每一项中只要有一个元素为零,则该项必为零,因此只剩下一项证明(1)
8同理,D2可表示为(2)
9取n=4,则行列式定义的对角线法则对高阶不适用.
10例3.证明三角形行列式(1)(2)
11证明:根据定义观察D1展开后不为零的项:第二个元素在第二行只能取a22,…,第n个元素在第n行中只能取ann.(1)于是第一个元素在第一行中只能取a11,
12
13…,第n个元只能取an1.观察D2展开后不为零的项:第二个元只能取a2,n-1,(2)同理,于是第一个元只能取a1n,
14
15同理可得右上三角行列式和左上三角行列式的值.以主对角线作为分界线的行列式,前面没有符号.
16至此,我们已经由定义出发得到上述三角形行列式的结果,就是主对角线上元素的乘积.在此基础上,我们可利用行列式的性质,选择适当的变换,将原行列式转化为这些特殊的行列式,从而求得其值.
17.D=-D1(两行(列)交换,以便取基数为±1);.D=kD1(一行(列)提公因子,简化);.D=D1(一行(列)的倍数加到另一行(列)上,行列式的值不变,化零元素).化三角形的过程中,主要使用下面性质.注意:上述三种变换以后对矩阵还要进行.
18化三角形的步骤(示意图):=...
19注1:变换的过程中“-”和倍数不要丢掉.注2:实际计算时不要出现箭头,而是等号“=”.NO!
20例4=40
21例5(P13例9)计算解:从第四行开始,依次施行后行减去前行
22问:有其它方法吗?
23
24
25=a4.
26例6(P14例10)注:1.主对角线上的块必须是方的.2.O块须在次对角线方向上.
27例
28
29≠作业:P25-28,4(2),6(3),8(2).
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