大一上作业线性代数.pptx

1定义(P6)说明：称为n阶行列式，简记为det(aij)或|aij|n.§1.3n阶行列式（n-determinant)（1）D展开后为n!项之代数和，正项与负项各有(n！)/2个（不计本身正负）.（2）和式的每一项是位于不同行不同列的n个元素之积.

2（4）二、三阶行列式的5条性质全部适用于n阶行列式.（3）和式的每一项前由行标为自然数顺序时列标所成排列的奇偶性冠以“－”、“＋”.

3性质1.D=DT.性质2.D=-D1（两行（列）交换）.性质3.D=kD1（一行（列）提公因子）.性质4.D=D1+D2（一行（列）拆两个行列式）.性质5.D=D1（一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式的值不变）.注：性质2,3,5用于计算，性质1常用于证明，性质4也用于计算但不常用.

4例1.下列各项哪为4阶行列式的项？若是应带什么符号？s(1342)=2+s(4123)=3-s(2341)=3.s(2413)+s(1342)=3+2.列标为自然数顺序时,相应行标排列对应的逆序数：行、列标为“自然”顺序时,相应排列对应的逆序数：

5No!No!

6例2证明（1）主对角行列式（2）次对角行列式

7由定义可得每一项中只要有一个元素为零，则该项必为零，因此只剩下一项证明（1）

8同理，D2可表示为（2）

9取n=4，则行列式定义的对角线法则对高阶不适用.

10例3.证明三角形行列式（1）（2）

11证明：根据定义观察D1展开后不为零的项:第二个元素在第二行只能取a22，…，第n个元素在第n行中只能取ann.（1）于是第一个元素在第一行中只能取a11，

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13…，第n个元只能取an1.观察D2展开后不为零的项：第二个元只能取a2,n-1，（2）同理，于是第一个元只能取a1n，

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15同理可得右上三角行列式和左上三角行列式的值.以主对角线作为分界线的行列式，前面没有符号.

16至此，我们已经由定义出发得到上述三角形行列式的结果，就是主对角线上元素的乘积.在此基础上，我们可利用行列式的性质，选择适当的变换，将原行列式转化为这些特殊的行列式，从而求得其值.

17.D=-D1（两行（列）交换，以便取基数为±1）；.D=kD1（一行（列）提公因子，简化）；.D=D1（一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式的值不变，化零元素）.化三角形的过程中，主要使用下面性质.注意：上述三种变换以后对矩阵还要进行.

18化三角形的步骤（示意图）：=...

19注1：变换的过程中“－”和倍数不要丢掉.注2：实际计算时不要出现箭头，而是等号“=”.NO!

20例4=40

21例5（P13例9）计算解：从第四行开始，依次施行后行减去前行

22问：有其它方法吗？

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25=a4.

26例6（P14例10）注：1．主对角线上的块必须是方的.2．O块须在次对角线方向上.

27例

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29≠作业：P25－28，4(2),6(3),8(2).