高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何同步单元必刷卷（基础卷）（全解全析）（含答案）.docxVIP

第一章空间向量与立体几何同步单元必刷卷（基础卷）

全解全析

1．D

【解析】

【分析】

根据空间四点共面的充要条件代入即可解决

【详解】

由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线

可得，解之得

故选：D

2．A

【解析】

【分析】

利用空间向量的基本定理求解.

【详解】

解：，

，

，

，

故选；A

3．A

【解析】

【分析】

由空间向量平行的坐标公式求出即可.

【详解】

由，解得，则.

故选：A.

4．B

【解析】

【分析】

先以为基底表示空间向量，再利用数量积运算律求解.

【详解】

解：，

，

，

，

所以，

故选：B

5．A

【解析】

【分析】

取的中点，连接，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得和所成角的余弦值.

【详解】

取的中点，连接，设，

因为是边长为的等边三角形，则，

因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、

轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，

，，

，

因此，和所成角的余弦值为.

故选：A.

6．C

【解析】

【分析】

将向量转化成，然后等式两边同时平方表示出向量的模，再根据向量的数量积求出向量与的夹角，而向量与的夹角就是二面角的补角．

【详解】

由条件，知．

，

，即，

所以二面角的大小为

故选：C．

7．A

【解析】

【分析】

根据空间点线面位置关系的向量表示，即可判断各命题的真假．

【详解】

对A，若，则直线平面或直线平面，A错误；

对B，若，则直线平面，B正确；

对C，设直线l与平面所成角的大小为，则，所以，C正确；

对D，设平面、所成锐角的大小为，则，所以，，D正确．

故选：A．

8．B

【解析】

【分析】

根据特殊位置即可判断出周长，根据等体积，可判断高最大，体积最大，根据线面垂直可判断线线垂直，根据二面角的向量求法即可作出判断.

【详解】

当时，是的中点，,当时，，,?????????????故当时的周长并不是最小的.故A错.

当λ=0时，,只需要面积最大体积就最大，此时重合，故B对.

当是中点时，平面,又平面，则，故C错.

取中点为,则平面,以所在直线为轴，故建立如图所示空间直角坐标系，平面的法向量为

,故

设平面的法向量为

所以???令，则，故

，故D不对.

故选：B

9．AC

【解析】

【分析】

由向量共面定理可判断AC；取，为零向量可判断B；取，A，三点共线，点P与，A，不共线可判断D.

【详解】

由向量共面定理可知A正确；

当，为零向量可知B错误；

由向量共面定理可知共面，又因为共始点，所以点，，A，共面，故C正确；

当，A，三点共线，点P与，A，不共线时可知D错误.

故选：AC

10．AD

【解析】

【详解】

根据空间向量共面的判定定理及空间向量基底的概念逐项判断即可.

【解答】

解：，，是空间的三个单位向量，

由，，则，故A正确；

，，两两共面，但是，，不一定共面，，，可能两两垂直，故B错误；

由空间向量基本定理，可知只有当，，不共面，才能作为基底，才能得到，故C错误；

若是空间的一组基底，则，，不共面，可知也不共面，所以也是空间的一组基底，故D正确．

故选：AD.

11．BCD

【解析】

【分析】

由空间向量平行的性质及空间向量模长，数量积，夹角的坐标运算进行判断即可.

【详解】

对于A选项：，不存在，使得，故A错误；

对于B选项：，，故B正确；

对于C选项：，，

则，故C正确；

对于D选项：，，

所以，故D正确；

故选：BCD.

12．ACD

【解析】

【分析】

在正三棱柱中，如图建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量可判断A；求出直线与BC的方向向量，通过异面直线所成角的向量公式可判断B；因为点M在内，所以设可表示出的坐标，由可求出的范围，再求出CM与平面ABC所成的角的正弦值可判断C；设，求出，，表示出可判断D.

【详解】

对于A，在正三棱柱中，为的中点，所以，

如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，设平面，所以，则平面⊥平面，所以A正确；

对于B，，，设直线与BC所成角为，则，所以异面直线与所成角的余弦值为，故B不正确.

对于C，设平面，因为点M在内（包括边界）且，

所以设，则四点共面，则，

所以，

则，所以，所以，

因为，所以化简得：，

所以，解得：，

设CM与平面ABC所成的角为，所以

，

所以CM与平面ABC所成的角的正弦值的最大值为，故C正确.

对于D，设，则、，因为，，所以，，则，，所以，所以当时有最小值，所以，所以，故D正确；

故选:ACD.

13．（答案不唯一）

【解析】

【分析】

先求得向量的坐标，再依据题给条件列方程去求向量的坐标即可解决.

【详解】

由点，可得，

又向量在上的投影向量为