高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)4.5解三角形6大常考题型(精讲)(原卷版+解析).docxVIP

4.5解三角形6大常考题型

【题型解读】

【知识必备】

1．正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理

正弦定理

余弦定理

内容

eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R

a2＝b2＋c2－2bccosA；

b2＝c2＋a2－2cacosB；

c2＝a2＋b2－2abcosC

变形

(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；

(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；

(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；

(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA

cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；

cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；

cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)

2.三角形面积公式：

S△ABC＝eq\f(1,2)ah(h表示边a上的高)；

S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB；

3.解三角形多解情况

在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系式

解的个数

一解

两解

一解

一解

无解

4.实际应用

（1）仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．

（2）方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．

(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．

(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．

(3)南偏西等其他方向角类似．

（4）坡角与坡度

(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．

(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．

5.相关应用

（1）正弦定理的应用

=1\*GB3①边化角，角化边

=2\*GB3②大边对大角大角对大边

=3\*GB3③合分比：

（2）内角和定理：

=1\*GB3①

同理有：，.

=2\*GB3②；

=3\*GB3③斜三角形中，

=4\*GB3④；

=5\*GB3⑤在中，内角成等差数列.

【题型精讲】

【题型一已知边角元素解三角形】

必备技巧已知边角元素解三角形技巧

正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．

例1（多选）(2023·山东济南一模）在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是（）

A． B．

C． D．

例2（多选）(2023·重庆市育才中学高三二模）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，，，则下列说法正确的是

A．或 B．

C． D．该三角形的面积为

例3(2023·安徽·合肥一六八中学模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，角C为钝角，.

(1)求的值；

(2)求边c的长.

【跟踪精练】

1．(2023·四川·树德中学模拟）在中，角所对的边分别为，若，则（???????）

A． B．或

C． D．或

2．(2023·河南·高三阶段练习）在中，内角，，所对的边分别是，，.若，，，则（???????）

A． B． C．或 D．或

3.(2023·全国·高三专题练习）△ABC的内角A?B?C的对边分别为a?b?c，若a=4，b=3，c=2，则中线AD的长为（???????）

A． B． C． D．

【题型二已知边角关系解三角形】

必备技巧已知边角关系解三角形

正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．

例4(2023·湖北·黄石市有色第一中学模拟预测）在中，内角的对边分别为，，，已知．

(1)若，求的值；

(2)若，的面积为，求边，的值．

例5(2023·全国·高三专题练习）△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△的面积为.

(1)证明：；

(2)若，求.

【跟踪精练】

1．（新课标Ⅰ）的内角，，的对边分别为，，．设．

（1）求；

（2）若，求．

2.(2023·山东潍坊·模拟预测）在中，内角的对边分别为，．

(1)求角；

(2)是边上的点，若，，