[工学]弹塑性力学第七章轴的扭转.pptx

第七章轴的扭转

圆轴的弹性扭转

非圆截面杆件的弹性扭转

圆轴的弹塑性扭转

非圆截面杆件的弹塑性扭转

1.应力分量：M

σ=σy=σ₂=ty=0

侧面：n=0

端面：l=0,m=0,n=-1

F=-tx,F,=-tzy,F₂=0

1.应力分量：σ=σ,=σ₂=t=0

应力边界条件：

平衡微分方程

弹性解：

2.应变分量：σ=σy=G₂=Ty=0

6=an

-

Ow

Oz

u=f₁(y,z)

v=f₂(z,x)

w=f₃(x,y)

E×=0

Ey=0

E=0

Yxy=

2.位移分量：

du

f₃(x,y)=c₀+c₁x+c₂y+c₃xy

f₂(z,x)=b₀+b₁z+b₂x+b₃zxf₁(y,z)=a₀+a₁y+a₂z+a₃yz

a₁+b₂=0,a₃+b₃=0

h₁+e₂=0,

a₁+b₂+(a₃+b₃)z=0

w=f₃(x,y)=c₀+c₁x+c₂y

a₀=u₀,b₀=v₀,C=W₀,b₂=O₂,-c₁=0,,C₂=0

位移条件：(1)坐标原点固定：

(2)原点的单元固定：

a₁=-b₂

b₁=-c₂

a₂=-C₁

C₃=0

过原点沿z向的线段在xoz、zoy面内不转动：

过原点沿x向的线段在xoy面内不转动：

刚体位移为零。

(1)坐标原点固定：u₀=v₀=w₀=0

(2)原点的单元固定：O₂=0,=0=0

θ=d,

单位长度的相对扭转角

M

X

x=.0x=08

0=“n

里弹

θn

K

一、应力分量

σ=σ,=σ₂=Ty=0

Tzy≠0Tzx≠0

tzy=rz(x,y)

φ(x,y):扭转应力

函数(Prandtl)

▽²φ=C

用扭转应力函数表

示的相容方程。

▽²t₂x=0

侧面边界条件：P,=0

多连域：

边界条件：

侧面：

φ、=C₁

Ps=0

M=2ʃʃealxdy

l=0,m=0,n=-1

二、应变分量：σ=σ,=σ₂=T=0

不计刚体位移

u=-0yz

v=θx

E×=0

Ey=0

E=0

Yxy=0

u,=0

u。=0rz

三、位移分量：

▽²φ=-2Gθ

C=-2G0

u=-0yz

v=θzx

▽²φ=C

(1)确定扭转应力函数：φ、=0→φ(x,y)√²=c

(2)确定应力函数中的待定常数：

(3)确定应力分量：σ=σ,=G₂=Ty=0

(5)确定单位长度的扭转角及位移分量：

u=-θyz

v=θzx

多连体：

解：

满足：φ₅=0

端面边界条件：

=—mmub

天X

zy

bzr

yG+-1=0

单位长度的扭转角：

应力分量：

解：

Tmax

M

扭杆的横截面不再保持为平面，而翘曲为曲面。

u=-θyz

v=θx

位移分量：

解：φ(x,y)=m(x²+y²-a²)=m(²-a²)

满足：

▽²φ=4m=-2Gθ

端面边界条件：

四、弹性扭转的薄膜比拟

比拟：两个概念完全不同的问题，如果数学表达式相同，

可借助比较直观的简单问题讨论复杂的抽象的问题。

薄膜在均匀压力作用下的垂度与等截面扭杆问题的应力函数在数学上是相似的，故可用比拟方法求扭转问题的解答。

(1)薄膜均匀张在水平边界上。

(2)边界形状与扭杆横截面相同。

(3)给薄膜施加均匀压力。

z(x,y)

公式推导：

(1)建立坐标系：

(2)取微元体：

薄膜单位长度上的张力：T

ZF₂=0

a~tana=

+qdxdy=0

▽²φ=-2Gθ

薄膜在周边上的挠度：

薄膜与支承面间体积的2倍：

φ=z,M=2V

Zg=0

Ps=0

(1)薄膜的垂度对应扭转应力函数，薄膜与支承面体积的2倍对应扭矩。

(2)薄膜在y方向斜率对应扭杆在同一点处x方向的剪应力。薄膜在x方向斜率对应扭杆在同一点处y方向的剪应力的大小。

P=Z

:扭杆横截面上某一点沿任意方向的剪应力，等于薄膜对应点处沿垂直方向的斜率。

最大剪应力对应于薄膜斜率最大处。

▽²φ=-2Gθ

Z=0

P、=0

Oz

θy

Oz.

ax

讨论：

φ=z,M=2V

剪应力t等于φ的梯度的模，方向沿φ=const曲线(薄

膜中的等高线)的切线方向。

φ的等值线称剪应力迹线。

最大剪应