第45讲重难点突破01 奔驰定理与四心问题（五大题型）（解析版）-2025数学一轮复习（含2024年高考真题+回归教材）.pdf

重难点突破01奔驰定理与四心问题

目录

01方法技巧与总结2

02题型归纳与总结3

题型一：奔驰定理3

题型二：重心定理9

题型三：内心定理13

题型四：外心定理17

题型五：垂心定理21

03过关测试25

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技巧一．四心的概念介绍：

（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．

（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．

（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．

（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．

技巧二．奔驰定理解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点．

已知△ABC的顶点A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，则△ABC的重心坐标为

112233

xxxyyy

123123

G(，)．

33



△ABCO

注意：（1）在中，若为重心，则OAOBOC0．

（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．



11

重心的向量表示：AGABAC．

33



奔驰定理：SOASOBSOC0，则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于

ABC

::

321



奔驰定理证明：如图，令OAOA，OBOB，OCOC，即满足OAOBOC0

112131111

S1S1S1

△AOB，△AOC，△BOC，故S:S:S::．

△AOB△AOC△BOC321

SSS

△AOB12△AOC13△BOC23

111111

技巧三．三角形四心与推论：

