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最全的数列通项公式的求法

数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出

数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。

◆一、直接法

根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。

例1.根据下列数列的前几项，说出数列的通项公式：

1、.15.31………

2、1,2,5,8,12………

3、………

4、1,-1,1,-1………

5、1、0、1、0………

◆二、公式法

①利用等差数列或等比数列的定义求通项

②若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解.

(注意：求完后一定要考虑合并通项)

例2．①已知数列的前项和满足．求数列的通项公式.

②已知数列的前项和满足，求数列的通项公式.

③已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。

③解析：由题意，，又是等比数列，公比为

∴，故数列是等比数列，，

∴

◆三、归纳猜想法

如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项

公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。

例3.（2002年北京春季高考）已知点的序列，其中，，是线段的中点，是线段的中点，…，是线段的中

点，…

（1）写出与之间的关系式（）。

（2）设，计算，由此推测的通项公式，并加以证明。

（3）略

解析：（1）∵是线段的中点，∴

（2），

=，

=，

猜想，下面用数学归纳法证明

当n=1时，显然成立；

假设n=k时命题成立，即

则n=k+1时，=

=

∴当n=k+1时命题也成立，

∴命题对任意都成立。

变式:（2006，全国II,理,22,本小题满分12分）

设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…

（Ⅰ）求a1，a2；

（Ⅱ）｛an｝的通项公式

◆四、累加（乘）法

最全的数列通项公式的求法-1-

对于形如型或形如型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将

它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。

例4.若在数列中，，，求通项。

解析：由得，所以

，，…，，

将以上各式相加得：，又

所以=

例5.在数列中，，（），求通项。

解析：由已知，，，…，，又，

所以=…=…=

◆五、取倒（对）数法

a、这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解

b、数列有形如的关系，可在等式两边同乘以先求出

c、解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。

例6.．设数列满足求

解：原条件变形为两边同乘以得.

∵

∴

例7、设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.

解：两边取对数得：，，设，

则是以2为公比的等比数列，.

，，，∴

变式:

1.已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝

（1）求数列｛an｝的通项公式；

（2）证明：对于一切正整数n，不等式a2……an2n！

2、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。

3、已知数列{}满足时，，求通项公式。

4、已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。

5、若数列｛a｝中，a=1，a=n∈N，求通项a．

◆六、迭代法

迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算.

例8、（2003·高考广·东）

设a0为常数，且an＝3n-1－2an-1（n为正整数