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专练09数学的应用--概率统计考查的二十个热点
热点题型速览
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热点一
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排列、组合问题
1.(2023·全国·统考高考真题)现有5名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期六、星期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(????)
A.120 B.60 C.30 D.20
2.(2023·全国·统考高考真题)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有种(用数字作答).
【点评】
1.有约束条件的排列问题一般有以下几种基本类型与方法:①特殊元素优先考虑;②对于相邻问题采用“捆绑法”,整体参与排序后,再考虑“捆绑”部分的排序;③对于不相邻问题,采用“插空”法,先排其他元素,再将不相邻元素插入空档;④搞清楚“间隔排列”与“不相邻”的区别;⑤“分排”问题“直排化”处理;⑥对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后再除以定序元素的全排列数.
2.解组合问题时要注意:①分类时不重不漏;②注意间接法的使用,在涉及“至多”“至少”等问题时,多考虑用间接法(排除法).
3.“球”与“盒”模型的解题策略:(1)明确球与盒放入个数的具体要求;(2)球的编号与盒的编号的要求;(3)明确“隔板法”的应用前提,是将“相同元素”隔开,计算“相同元素”的分隔情况,解题时要慎之又慎.
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排列与组合的综合问题
3.(2023·全国·统考高考真题)甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(????)
A.30种 B.60种 C.120种 D.240种
4.(2023上·江苏盐城·高三盐城中学校联考阶段练习)将甲,乙,丙,丁,戊五名志愿者安排到四个社区进行暑期社会实践活动,要求每个社区至少安排一名志愿者,那甲恰好被安排在社区的不同安排方法数为(????)
A.24 B.36 C.60 D.96
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排列、组合与古典概型
5.(2023·全国·统考高考真题)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为(????)
A. B. C. D.
6.(2019·广东惠州·高三统考阶段练习)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“任何一个大于的偶数都可以写成两个素数的和”,如.在不超过的素数中,随机选取个不同的数,其和等于的概率是(注:若一个大于的整数除了和它本身外无其他因数,则称这个整数为素数)(????)
A. B. C. D.
【点评】
古典概型概率的计算问题,往往与数学文化、现代科技、社会生活等相结合,解题的关键是计算基本事件数,常与简单排列、组合问题综合考查.
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求二项展开式特定项(系数)
7.(2023年北京高考专题)的展开式中的系数为(????).
A. B. C.40 D.80
8.(2023·全国·校联考模拟预测)在的展开式中常数项为(????)
A.721 B.-61 C.181 D.-59
9.(2022·全国·统考高考真题)的展开式中的系数为(用数字作答).
【点评】
1.求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略:①求展开式中的特定项,可依据条件写出第k+1项,再由特定项的特点求出k值即可;②已知展开式的某项,求特定项的系数,可由某项得出参数值,再由通项写出第k+1项,由特定项得出k值,最后求出其系数.注意“二项式系数”与“项的系数”的区别,不能混淆.
2.某些三项或三项以上的展开问题,根据式子的特点,可通过变形转化为二项式,再用二项式定理求解.转化的方法通常为配方、因式分解.
3.求三项展开式中某些特定项的系数的方法:①两次利用二项式定理的通项公式求解;②由二项式定理的推证方法知,可用排列、组合的基本原理去求,即把三项式看作几个因式之积,要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量.热点
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二项展开式系数问题
10.(2022·浙江·统考高考真题)已知多项式,则,.
11.(2023上·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习)二项式的各项系数之和为,则展开式中常数项为.
【点评】
1.①“赋值法”普遍运用于恒等式,是一种处理二项式相关问题比较常用的方法.对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.②若f(x)=a0+a1x+a2x
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