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专题1.1集合
【核心素养】
1.与方程、函数、不等式等相结合考查集合元素的性质,凸显数学抽象的核心素养.
2.与不等式相结合考查集合的基本关系,凸显数学运算、逻辑推理的核心素养.
3.与函数的概念、不等式、数轴、Venn图等相结合考查集合的运算,凸显数学运算、直观想象的核心素养.
知识点一
知识点一
元素与集合
(1)集合元素的特性:确定性、互异性、无序性.
(2)集合与元素的关系:若a属于集合A,记作;若b不属于集合A,记作.
(3)集合的表示方法:列举法、描述法、区间法、图示法.
(4)五个特定的集合及其关系图:
N*或N+表示正整数集,N表示自然数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集.
知识点二
知识点二
集合间的基本关系
(1)子集:若对任意x∈A,都有x∈B,则A?B或B?A.
(2)真子集:若A?B,且集合B中至少有一个元素不属于集合A,则AB或BA.
(3)相等:若A?B,且B?A,则A=B.
(4)空集的性质:?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
知识点三
知识点三
集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U,则集合A的补集为CUA
图形表示
集合表示
{x|x∈A,或x∈B}
{x|x∈A,且x∈B}
{x|x∈U,且x?A}
求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”,集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素,剩下的元素构成的集合即为CUA.
知识点四
知识点四
集合的运算性质
(1)A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A.
(2)A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A.
(3)A∩(CUA)=?,A∪(CUA)=U,CU(CUA)=A.
常用结论
常用结论
1.若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个.
2.子集的传递性:A?B,B?C?A?C.
3.A?B?A∩B=A?A∪B=B?CUA?CUB.
4.CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB),CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB).
常考题型剖析
常考题型剖析
题型一:集合的基本概念
【典例分析】
例1-1.(2023·北京海淀·校考模拟预测)设集合,若,则实数m=(????)
A.0 B. C.0或 D.0或1
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系,分别讨论和两种情况,求解并检验集合的互异性,可得到答案.
【详解】设集合,若,
,或,
当时,,此时;
当时,,此时;
所以或.
故选:C
例1-2.(2023·全国·高三专题练习)集合的元素个数为(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】由题意利用列举法写出集合A中的元素即可得出答案.
【详解】集合,
所以集合的元素个数为9个.
故选:B.
【规律方法】
与集合中的元素有关的问题的三种求解策略
(1)研究一个用描述法表示的集合时,首先要看集合中的代表元素,即确定这个集合是数集还是点集等,然后再看元素的限制条件.
(2)根据元素与集合的关系求参数时,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
(3)集合中的元素与方程有关时,注意一次方程和一元二次方程的区别.
【变式训练】
变式1-1.(2023·北京东城·统考一模)已知集合,且,则a可以为(????)
A.-2 B.-1 C. D.
【答案】B
【分析】求出集合,结合元素与集合关系判断即可.
【详解】∵,∴,∴,
可知,故A、C、D错误;,故B正确.
故选:B
变式1-2.(2023·河北·高三学业考试)设集合,,,则中的元素个数为______.
【答案】4
【分析】求出所有的值,根据集合元素的互异性可判断个数.
【详解】因为集合中的元素,,,所以当时,,2,3,此时,6,7.当时,,2,3,此时,7,8.
根据集合元素的互异性可知,,6,7,8.即,共有4个元素.
故答案为:4.
题型二:集合间的基本关系
例2-1.(2023·江西·金溪一中校联考模拟预测)已知集合,,若,则(????)
A. B.0 C.1 D.2
【答案】A
【分析】根据,可得两集合元素全部相等,分别求和,再根据集合元素的互异性可确定,的值,进而得出答案.
【详解】由题意可知,两集合元素全部相等,得到或,又根据集合互异性,可知,解得(舍),和(舍),所以,,则,
故选:A
例2-2.(2023·广东茂名·统考二模)已知集合,,若,则实数的取值范围是(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】先解出集合,再根据列不等式直接求解.
【详解】集合,.
要使,只需,解得:.
故选:A
【方法技巧】
(1)判断两集合之间的关系的方法:当两集合不含参数时,可直接利用数轴、图示法进行判断;当集合中含有参数时,需要对
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