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专题1.2全称量词与存在量词、充要条件
【核心素养】
1.与函数、不等式、平面向量、立体几何、解析几何等知识结合,考查充分条件与必要条件的判断及应用,凸显逻辑推理、数学运算等核心素养.
2.以函数、方程、不等式为载体,考查全称命题、特称命题的否定及真假判断的应用,凸显逻辑推理、数学运算的核心素养.
知识点一
知识点一
充分条件与必要条件
(1)若p?q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;
(2)若p?q,且qeq\o(?,/)p,则p是q的充分不必要条件;
(3)若peq\o(?,/)q且q?p,则p是q的必要不充分条件;
(4)若p?q,则p是q的充要条件;
(5)若peq\o(?,/)q且qeq\o(?,/)p,则p是q的既不充分也不必要条件.
知识点二
知识点二
全称量词和存在量词
(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词.
(2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词.
(3)常见量词:
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个、任给等
?
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
?
知识点三
知识点三
全称命题与特称命题
1.全称命题
(1)含有全称量词的命题,叫做全称命题.
(2)全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为,读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.
2.特称命题
(1)含有存在量词的命题,叫做特称命题.
(2)特称命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”可用符号简记为,读作“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”.
知识点四
知识点四
全称命题与特称命题的否定
(1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.
(2)“或”的否定为:“非且非”;“且”的否定为:“非或非”.
(3)含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
常考题型剖析
常考题型剖析
题型一:充要条件的判定
【典例分析】
例1-1.(2022·天津·统考高考真题)“为整数”是“为整数”的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
例1-2.(2022·浙江·统考高考真题)设,则“”是“”的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
例1-3.(2020·天津·统考高考真题)设,则“”是“”的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【规律方法】
充要关系的几种判断方法
(1)定义法:若SKIPIF10,则SKIPIF10是SKIPIF10的充分而不必要条件;若SKIPIF10,则SKIPIF10是SKIPIF10的必要而不充分条件;若SKIPIF10,则SKIPIF10是SKIPIF10的充要条件;若SKIPIF10,则SKIPIF10是SKIPIF10的既不充分也不必要条件.
(2)等价法:即利用与;与;与的等价关系,对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法.
(3)集合关系法:从集合的观点理解,即若满足命题p的集合为M,满足命题q的集合为N,则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件,N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件,M=N等价于p和q互为充要条件,M,N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件
【变式训练】
变式1-1.(2020·山东·统考高考真题)已知,若集合,,则“”是“”的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
变式1-2.(2023·四川绵阳·统考三模)已知直线与圆,则“”是“直线与圆相切”的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
变式1-3.(2023·天津河北·统考一模)设,则“”是“”的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
题型二:充分条件与必要条件的应用
例2-1.(2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习)条件,,则的一个必要不充分条件是(????)
A. B. C. D.
例2-2.(2023秋·河南许昌·高三校考期末)已知集合,.
(1)求A;
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