部编数学八年级上册专项07半角模型综合应用（解析版）含答案.pdfVIP

专项07半角模型综合应用

模型一等角=要三角形中得半角模型

模型二正方形中的半角模型

应用：①利用旋转构造全等三角形

②利用翻折构造全等三角形。

【类型一：等腰三角形中的半角模型】

【典例1】旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条

件集中到一起，从而方便解决问题．已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D、E

在边BC上，且．

（1）如图a，当α＝60°时，将△AEC绕点A顺时针旋转60°到△AFB的位置，连结

DF．

①∠DAF＝；②求证：DF＝DE；

（2）如图b，当α＝90°时，猜想BD、DE、CE的数量关系，并说明理由．

【解答】（1）①解：由旋转知，AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，∠EAF＝60°，

∵∠DAE＝α，∠BAC＝α＝60°，

∴∠DAE＝×60°＝30°，

∴∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝30°，

∴∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝∠BAD+∠CAE＝30°，

故答案为：30°；

②证明：由①知，AF＝AE，∠DAF＝∠DAE＝30°，

∵AB＝AC，

∴△DAF≌△DAE（SAS），

∴DF＝DE；

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（2）解：DE＝BD+CE，理由如下：

如图，

将△AEC绕点A顺时针旋转90°到△AFB的位置，连结DF，

∴AF＝AE，∠EAF＝90°＝∠BAC，

∴∠BAF＝∠CAE，

∴△BAF≌△CAE（SAS），

∴BF＝CE，∠ABF＝∠ACE，

在Rt△ABC中，∠C＝∠ABC＝45°，

∴∠ABF＝45°，

222

∴∠DBF＝90°，根据勾股定理得，DF＝BD+BF，

222

∴DF＝BD+CE，

同（1）②的方法得，DF＝DE，

222

∴DE＝BD+CE．

【变式1】已知∠MBN＝60°，等边△BEF与∠MBN顶点B重合，将等边△BEF绕顶点B

顺时针旋转，边EF所在直线与∠MBN的BN边相交于点C，并在BM边上截取AB＝

BC，连接AE．

（1）将等边△BEF旋转至如图①所示位置时，求证：CE＝BE+AE；

（2）将等边△BEF顺时针旋转至如图②、图③位置时，请分别直接写出AE，BE，CE

之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（1）和（2）的条件下，若BF＝4，AE＝1，则CE＝3或5．

【解答】（1）证明：∵△BEF为等边三角形，

∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，

∴∠EBA+∠ABF＝60°，

∵∠MBN＝60°，

∴∠CBF+∠ABF＝60°，

∴∠EBA＝∠CBF，

在△ABE与△CBF中，

，

∴△ABE≌△CBF（SAS），

∴AE＝CF，

∵CE＝EF+CF，

∴CE＝BE+AE；

（2）解：图②结论为CE＝BE﹣AE，图③结论为CE＝AE﹣BE，

图②的理由如下：

∵△BEF为等边三角形，

∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，

∴∠EBA+∠ABF＝60°，

∵∠MBN＝60°，

∴∠CBF+∠ABF＝60°，

∴∠EBA＝∠CBF，

在△ABE与△CBF中，

，

∴△ABE≌△CBF（SAS），

∴AE＝CF，

∵CE＝EF﹣CF，

∴CE＝BE﹣AE，

图③的利用如下：

∵△BEF为等边三角形，

∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，

∴∠EBA+∠ABF＝60°，

∵∠MBN＝60°，

∴∠CBF+∠ABF＝60°，

∴∠EBA