专题8.6 几何体与球切、接、截的问题【解析版】.docx

专题8.6几何体与球切、接、截的问题

【核心素养】

1.通过考查棱柱、棱锥或不规则几何体的特征及体积与表面积的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．

2.结合三视图、直观图，主要考查几何体与球的组合体的识辨，几何体与球切、接、截等问题计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．

知识点

知识点一

多面体的结构特征

多面体

结构特征

棱柱

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等

棱锥

有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形

棱台

棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分

知识点

知识点二

旋转体的结构特征

名称

圆柱

圆锥

圆台

球

图形

旋转

图形

矩形

直角三角形

直角梯形

半圆形

旋转轴

任一边所在的直线

任一直角边所在的直线

垂直于底边的腰所在的直线

直径所在的直线

母线

互相平行且相等，垂直于底面

相交于一点

延长线交于一点

轴截面

全等的矩形

全等的等腰三角形

全等的等腰梯形

圆

侧面展开图

矩形

扇形

扇环

知识点

知识点三

几何体的侧面积、表面积

圆柱的侧面积

圆柱的表面积

圆锥的侧面积

圆锥的表面积

圆台的侧面积

圆台的表面积

球体的表面积

柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.

把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.

知识点

知识点四

几何体的体积

圆柱的体积

圆锥的体积

圆台的体积

球体的体积

正方体的体积

正方体的体积

知识点

知识点五

球的性质

（1）过直径的两个端点可作无数个大圆；

（2）球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径；

（3）用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面．

知识点

知识点六

多面体的内切球与外接球常用的结论

多面体的内切球与外接球常用的结论

(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝，外接球半径R＝.

(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝.

(3)设正四面体的棱长为a，则它的高为H＝，内切球半径r＝H＝，外接球半径R＝H＝.

常考题型剖析

常考题型剖析

题型一：球与球的外切问题

【典例分析】

例1-1．（2023秋·安徽·高三校联考阶段练习）直观想象是数学六大核心素养之一，某位教师为了培养学生的直观想象能力，在课堂上提出了这样一个问题：现有10个直径为4的小球，全部放进棱长为a的正四面体盒子中，则a的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分析10个小球在正四面体内的位置情况，把正四面体的高用小球半径与正四面体的棱长表示，列等式即可求解.

【详解】我们先来证明如下引理：

如下图所示：

??

设正四面体棱长为，面，，

所以，，

显然为面的重心，所以，由勾股定理可得面,

所以正四面体的高等于其棱长的面倍.

接下来我们来解决此题：

如下图所示：

??

10个直径为4的小球放进棱长为a的正四面体中，成三棱锥形状，有3层，

则从上到下每层的小球个数依次为：1，，个，

当a取最小值时，从上到下每层放在边缘的小球都与正四面体的侧面相切，底层的每个球都与正四面体底面相切，

任意相邻的两个小球都外切，位于每层正三角状顶点的所有上下相邻小球的球心连线为一个正四面体，

则该正四面体的棱长为，可求得其高为，

所以正四面体的高为，

进而可求得其棱长a的最小值为．

故选：B.

例1-2.（2023·全国·高三专题练习）个半径为的中球上层个、下层个两两相切叠放在一起.

(1)有个空心大球能把个中球装在里面，求大球的半径至少是多少？

(2)在它们围成的空隙内有个小球与这个中球都外切，求小球的半径？

【答案】(1)

(2)

【分析】根据球心构成的正四面体的外接球的半径，进而可求解.

【详解】（1）四个小球的关系如图所示：

设，，，分别为四个小球的球心，则显然几何体是正四面体，棱长为2，

设是正四面体的外接球的球心，将该正四面体放入正方体中，设正方体的棱长为，且正方体的外接球的半径为,

则，,

因此正四面体的外接球的半径为，

因此大球的半径至少为；则这四个实心小球可以放入一个半径至少为的大球内部，

（2）可知该小球和（1）问中的最小的大球是同心球，

则小球的半径是最小的大球的半径减去一个中球的直径，即.

【规律方法】

1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．

2.球外切时，注意球心连线构成几何体