专题7 圆锥曲线之极点与极线 微点2 极点与极线问题常见模型总结（学生版）.docx

答案第=page11页，共=sectionpages22页

答案第=page11页，共=sectionpages22页

专题7圆锥曲线之极点与极线

微点2极点与极线问题常见模型总结

专题7圆锥曲线之极点与极线

微点2极点与极线问题常见模型总结

【微点综述】

在高中阶段，很多定点定直线问题都以此为背景，因此，高中生有必要了解极点极线的相关知识，这样就可以从“高观点下”看待高中圆锥曲线的相关内容，更容易抓住问题的本质，虽然高考解答题不能用相关结论，但是我们可以将它作为辅助手段，快速的找到正确答案，然后再用初等方法写过程解题．也就是说只有熟练“二级结论”才能明确运算方向、提高运算效率．本专题总结了极点与极线应用的几个常见模型．

一、焦点准线模型（乘积为模型）

【引理】从直线上任意一点向椭圆的左右顶点引两条割线与椭圆交于两点，则直线恒过定点．

例1．（2020全国高考Ⅰ卷20）

1．已知A、B分别为椭圆E：（a1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

【定理3】椭圆左右顶点为，椭圆外一点（且），交椭圆于另一点交椭圆于另一点，则直线过定点，且满足．

证明：①当直线斜率不为时，设为，点，由于，则直线分别为

分别在上，则①

在上，即②

①②得，

③

联立直线与椭圆消去得，由韦达定理得

将此式代入③得：，

因式分解得：，

化简得，当时，如下图，直线过点，即此时共点，不符合题意，，再通分化简得：，即，即直线也过定点．

②当直线斜率为时，经验证直线也过定点．

二、斜率与斜率成等差模型

【定理4】如图1，已知椭圆椭圆，点，不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，则直线过定点等价于轴平分，即，双曲线类似．

【定理5】如图2，已知椭圆，点，直线过点且与椭圆交于不同的两点，与直线交于，且点为直线上任意一点，直线的斜率分别为，则．

图1

图2

三、调和点列模型

（1）调和点列

直线上依次四点，若满足，则称成调和点列（为内分点，为外分点），特别地，若在无穷远处，则，即此时为中点．

（2）调和点列与极点极线

设点关于圆锥曲线的极线为，过点任作一割线交于，交于，则；反之，若有成立，则称点调和分割线段，或称关于调和共辄．

四、线段比模型

【定理6】已知调和线束，若有一条直线分别与调和线束交于四点，那么也成调和点列．

【定理7】己知调和线束，若有一条直线平行于调和线束中的一条，且与剩余三条分别交于三点，那么这三点中的内点平分该线段．

五、切线模型

1．圆锥曲线的切线方程

（1）设是椭圆上一点，则过的椭圆的切线方程为：；

（2）设是双曲线上一点，则过的双曲线的切线方程为：；

（3）设是抛物线上一点，则过的抛物线的切线方程为：．

2．椭圆的光学性质

如图，从椭圆一个焦点出发的光线经过反射后穿过另一个焦点，即桶圆上任一点处的切线的垂线（法线）平分过该点的两条焦半径的夹角．

3．抛物线的光学性质

如图，从抛物线焦点出发的光线经过反射平行于抛物线对称轴．假设过抛物线上任意一点作切线与对称轴交于点，则且．

4．极点与极线的几何意义

（1）当在圆锥曲线上时，则点的极线是曲线在点处的切线；

（2）当在圆锥曲线内时，过点任作一割线交于，，设在，处的切线交于点，则点的极线是动点的轨迹；【极线与圆锥曲线必定相离】

（3）当在圆锥曲线外时，过点作的两条切线，设其切点分别为，，则点的极线是直线（即切点弦所在的直线）．【极线与圆锥曲线必定相交】

六、定点与定值模型

【定理8】已知椭圆，为过定点的动弦，为椭圆上任意一点，交直线于两点，则以为直径的圆恒过定点，特别地，当为椭圆的焦点时，以为直径的圆恒过焦点以及它关于准线的对称点．

例2．（2022年高考全国乙卷理20）

2.已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过两点．

（1）求的方程；

（2）设过点的直线交于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足．证明：直线过定点．

【分析】（I）将给定点代入设出的方程求解即可；（II）设出直线方程，与椭圆的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解．

（I）解：设椭圆的方程为，过，则，解得，，所以椭圆的方程为：．

（II）证法一：定点为，证明如下：

点对应的极线为，即，即为直线，则为调和线束，过作//，交于，由调和性质可知为中点，故直线过定点．

证法二：，所以，

①若过点的直线斜率不存在，直线．代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到．求得方程：，过点．

②若过点的直线斜率存在，设．

联立得，

可得，，且

联立可得，

可求得此时，

将，代入整理得，

将代入，得，显然成立．

综上，可得直线过定点．

【评注】求定点、定值问题常见的方法有