专题10 焦半径公式的应用 微点1 焦半径公式的应用（学生版）.docxVIP

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专题10焦半径公式的应用

微点1焦半径公式的应用

【微点综述】

研究圆锥曲线的性质，焦半径是一个回避不了的问题．焦半径、焦点弦问题是圆锥曲线几何性质的进一步应用，在高考中经常出现，这些问题的处理体现了多种数学思想方法的交汇．本文利用圆锥曲线的定义、方程思想及数形结合思想推导出圆锥曲线的焦半径公式，并举例说明其应用．

在圆锥曲线问题中若涉及焦半径，如果想到应用焦半径公式来求解，有时会使求解过程十分简捷．下面举例说明，供大家参考．

一、圆锥曲线焦半径定义：

圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径．

二、圆锥曲线焦半径公式：

对于椭圆和双曲线上的任意一点，都对应有两条焦半径，对于抛物线上任意一点，焦半径唯一存在．

1．椭圆的焦半径公式

（1）若为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，则，．

证明：证法1（代数方法）：设是椭圆上任意一点（如图1），则有，

从而焦半径，

而，所以，其中为椭圆离心率．

图1图2

证法2（代数方法）设，依题意有方程组

②-③得

代①于④并整理得⑤

联立①⑤得

证法3（几何方法，利用第二定义）：

如图2，F是椭圆的右焦点，直线l：为椭圆准线，P为椭圆上任意一点，过P作准线l的垂线交于，根据第二定义可得：证明：由椭圆的第二定义知：

同理可证焦点在轴上椭圆的焦半径公式——

（2）若为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的上、下焦点，则，．

2．双曲线的焦半径公式

（1）若为双曲线上任意一点，，分别为双曲线的左、右焦点，则

①当点P在双曲线的左支上时，，；

②当点P在双曲线的右支上时，，．

（2）若为双曲线上任意一点，，分别为双曲线的上、下焦点，则

①当点P在双曲线的上支上时，，；

②当点P在双曲线的下支上时，，．

证明：双曲线上的两焦点，相应的准线方程分别是，双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于双曲线的离心率，

若点P在右半支上，则，化简得．

同理可证若点P在左半支上，则，．同理可证焦点在轴上的双曲线的焦半径公式．

【评注】（1）对于焦点在在轴上的双曲线时只须把上述“左”、“右”换成“下”、“上”，“”换成“”即可；

（2）若点P在左半支上，也可以根据点P在右半支上的焦半径公式和双曲线的第一定义推导出点P在左半支上的焦半径公式．

3．抛物线的焦半径公式

（1）若为抛物线上任意一点，则；

（2）若为抛物线上任意一点，则；

（3）若为抛物线上任意一点，则；

（4）若为抛物线上任意一点，则．

由抛物线定义易证上述抛物线焦半径公式．

下面用三张表格总结椭圆、双曲线、抛物线的主要性质．

表1．椭圆的定义、标准方程及其几何性质

焦点的位置

焦点在轴上

焦点在轴上

图形

标准方程

第一定义

到两定点的距离之和等于常数2，即（）

第二定义

与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数，即

范围

且

且

顶点

，

，

轴长

长轴的长，短轴的长

对称性

关于轴、轴对称，关于原点中心对称

焦点

，

，

焦距

离心率

准线方程

焦半径

左焦半径：右焦半径：

下焦半径：上焦半径：

焦点三角形面积

通径

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：

弦长公式

，

表2．双曲线的定义、标准方程及其几何性质

焦点的位置

焦点在轴上

焦点在轴上

图形

标准方程

第一定义

到两定点的距离之差的绝对值等于常数，即

第二定义

与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数，即

范围

或，

或，

顶点

轴长

实轴的长虚轴的长

对称性

关于轴、轴对称，关于原点中心对称

焦点

，

，

焦距

离心率

准线方程

渐近线方程

焦半径

在右支在左支

在上支在下支

焦点三角形面积

通径

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：

表3．抛物线的定义、标准方程及其几何性质

图形

标准方程

定义

与一定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点不在定直线上)

顶点

离心率

对称轴

轴

轴

范围

焦点

准线方程

焦半径

通径

过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：

焦点弦长公式

参数的几何意义

参数表示焦点到准线的距离，越大，开口越阔

三、圆锥曲线焦半径公式应用举例：

例1．（2022广东海珠区期末）椭圆的右焦点F，直线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（）

A．B．C．D．

【解析】解法1：