专题12 定比点差法及其应用 微点3 定比点差法综合应用（二）——解决范围、最值、探索型以及存在性问题（学生版）.docxVIP

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专题12定比点差法及其应用

微点3定比点差法综合应用（二）——解决范围、最值、探索型以及存在性问题

【微点综述】

本文在上一节的基础上，进一步介绍定比点差法的综合应用——解决范围问题、最值问题、探索型问题以及存在性问题．

一、范围问题

1．过点的直线l交椭圆E：于A、B两点，若，求的取值范围．

（2022·浙江·模拟预测）

2．如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，

（1）求抛物线的方程；

（2）设过点F的直线交抛物线与A?B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.

3．已知椭圆：的两个焦点为，，焦距为，直线：与椭圆相交于，两点，为弦的中点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线：与椭圆相交于不同的两点，，，若（为坐标原点），求的取值范围.

二、最值问题

（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）

4．已知椭圆的离心率，且经过点，点为椭圆C的左、右焦点．

（1）求椭圆C的方程．

（2）过点分别作两条互相垂直的直线，且与椭圆交于不同两点与直线交于点P．若，且点Q满足，求面积的最小值．

（2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测）

5．已知椭圆的离心率为，短轴长为4；

(1)求C的方程；

(2)过点作两条相互垂直的直线上和，直线与C相交于两个不同点A，B，在线段上取点Q，满足，直线交y轴于点R，求面积的最小值．

（2022全国·高二专题练习）

6．已知椭圆的焦点是，，且，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点．

（i）求的最小值；

（ii）点是直线上异于的一点，且满足，求证：点在一条定直线上．

7．在平面直角坐标系中，P为直线：上的动点，动点Q满足，且原点O在以为直径的圆上.记动点Q的轨迹为曲线C

（1）求曲线C的方程：

（2）过点的直线与曲线C交于A，B两点，点D（异于A，B）在C上，直线，分别与x轴交于点M，N，且，求面积的最小值.

三、探索型问题

（2022浙江·高二开学考试）

8．如图，已知抛物线C：的焦点F，过x轴上一点作两条直线分别交抛物线于A，B和C，D，设和所在直线交于点P．设M为抛物线上一点，满足以下的其中两个条件：①M点坐标可以为；②轴时，；③比M到y轴距离大1．

（1）抛物线C同时满足的条件是哪两个？并求抛物线方程；

（2）判断并证明点P是否在某条定直线上，如果是，请求出该直线；如果不是，请说明理由．

（2022安徽·高三阶段练习）

9．在平面直角坐标系xOy中，A，B分别为椭圆C：=1(ab0)的右顶点和上顶点，的面积为，且椭圆C的离心率为.

（1）求椭圆C的方程.

（2）设斜率不为0的直线l经过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于不同的两点M，N，过M作直线x=4的垂线，垂足为Q.试问：直线QN是否过定点？若过定点，请求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

10．如图所示，在平面直角坐标系中，设椭圆，其中，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点和，且满足，，其中为正常数.当点恰为椭圆的右顶点时，对应的.

（1）求椭圆的离心率；

（2）求与的值；

（3）当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.

四、存在性问题

（2022重庆市育才中学二模）

11．已知椭圆的左右焦点分别为，长轴长为，A?B为椭圆上的两个动点，当A?B关于原点对称时，的最大值为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若存在实数使得，过点A作直线的垂线，垂足为N，直线是否恒过某点？若恒过某点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.

（2022·全国·高三专题练习）

12．如图，，，，为抛物线上四个不同的点，直线与直线相交于点，直线过点.

（1）记，的纵坐标分别为，，求的值；

（2）记直线，的斜率分别为，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

【总结】

（1）“定比点差法”属于技巧，并不是解析几何的通解通法，其适用范围较窄，从上述例题的解答过程可以看出，当遇到三点共线、定点、成比例等条件时，我们可以尝试该法．

（2）本文介绍的“定比点差法”，为今后解决一类解几问题提供了新的思路，相较于联立直线与曲线方程的通法，该法过程简洁、计算量小，可以提高解题效率，但是该法有其局限性，我们在日常的学习中，要结合自身掌握程度和实际情况，选择最佳的解题方法，不能盲目追求某一种解法，要学会从不同的解法中汲取不同的数学思想，从而提高自身的数学核心素养．

【针对训练】

13．已知椭圆，过定点的直线与椭圆交于两点A，B（可重合），求的取值范围．

14．已知椭圆的