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第三节泰勒

为了便于研究,往往希望用一些简单的函

数来近似表达比较复杂的函数.由于用多项式

表示的函数,只要对自变量进行有限次加、减、

乘三种算术运算,便能求出它的函数值来,因

此我们经常用多项式来近似表达函数.

一、问题的提出

f(x)x

1、设在处连续,则有

0

f(x)f(x)+

0

f(x)f(x)

0

f(x)x

2、设在处可导(可微),则有

0

f(x)f(x)+f(x)(x−x)+o(x−x)

0000

f(x)f(x)+f(x)(x−x)

000

(以直代曲)

微分几何意义:(如图)

y

y

当是曲线的纵坐T

dy

标增量时,就是N

o(x)

切线纵坐标对应的P

y

|x|Mdy

增量.当很小时

yf(x)xQ

,在点M的附近,

切线段MP可近似代)

替曲线段MN.ox0x0+xx

(以直代曲)

xex1+x,ln(1+x)x.(如下图)

例如,当很小时,

yx

x

ye

yln(1+x)

y1+x

oo

不足:1、精确度不高;2、误差不能估计.

题:P(x),f(x)P(x)

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