立体几何题型的解题技巧适合总结提高用.doc

第六讲立体几何新题型的解题技巧

考点1点到平面的距离

例1〔2007年福建卷理〕如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．

ABCD〔Ⅰ〕求证：平面

A

B

C

D

〔Ⅱ〕求二面角的大小；

〔Ⅲ〕求点到平面的距离．

Q

Q

B

C

P

A

D

O

M

例2.(2006年湖南卷)如图,两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.

(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；

(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.

考点2异面直线的距离

例3三棱锥，底面是边长为的正三角形，棱的长为2，且垂直于底面.分别为的中点，求CD与SE间的距离.

考点3直线到平面的距离

例4．如图，在棱长为2的正方体中，G是的中点，求BD到平面的距离.

B

B

A

C

D

O

G

H

考点4异面直线所成的角

例5〔2007年北京卷文〕

如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角．是的中点．

〔=1\*ROMANI〕求证：平面平面；

〔=2\*ROMANII〕求异面直线与所成角的大小．

例6．〔2006年广东卷〕如下图，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD.

(Ⅰ)求二面角B—AD—F的大小；

(Ⅱ)求直线BD与EF所成的角.

考点5直线和平面所成的角

例7.〔2007年全国卷Ⅰ理〕

四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．，，，．

〔Ⅰ〕证明；

〔Ⅱ〕求直线与平面所成角的大小．

考点6二面角

例8．〔2007年湖南卷文〕

ABCQP如图，直二面角，，，，，，直线和平面所成的角为．

A

B

C

Q

P

〔I〕证明；

〔II〕求二面角的大小．

例9．(2006年重庆卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，AB‖CD，AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点.

〔Ⅰ〕试证：CD平面BEF；

〔Ⅱ〕设PA＝k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围.

考点7利用空间向量求空间距离和角

例10．〔2007年江苏卷〕

如图，是棱长为的正方体，

点在上，点在上，且．

〔1〕求证：四点共面；

〔2〕假设点在上，，点在上，

，垂足为，求证：平面；

〔3〕用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求．

例11．〔2006年全国Ⅰ卷〕

如图,l1、l2是互相垂直的两条异面直线，MN是它们的公垂线段，点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN

〔I〕证明ACNB；

〔II〕假设，求NB与平面ABC所成角的余弦值.

考点8简单多面体的有关概念及应用，主要考查多面体的概念、性质，主要以填空、选择题为主，通常结合多面体的定义、性质进行判断.

例12.如图〔1〕，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为时容积最大.

BACDEFGHIJ(A、B、C)DEFGHIJ例13.如图左，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、

B

A

C

D

E

F

G

H

I

J

(A、B、C)

D

E

F

G

H

I

J

A、90°B、60°C、45°D、0°

ABCADA1B1C1D1例14.长方体

A

B

CA

D

A1

B1

C1

D1

设对角线D1B与自D1出发的三条棱分别成α、β、角

求证：cos2α＋cos2β＋cos2＝1

设D1B与自D1出发的三个面成α、β、角，求证：

cos2α＋cos2β＋cos2＝2

考点9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算

例15.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝a，BC＝CA＝AA1＝a，

A1在底面△ABC上的射影O在AC上A

A1

B1

C1

A

B

C

D

O

求AB与侧面AC1所成角；

假设O恰好是AC的中点，求此三棱柱的侧面积.

A

A

B

C

M

N

K

L

A

B

C

M

N

K

L

例16.等边三角形ABC的边长为4，M、N分别为AB、AC的中点，沿MN将△AMN折起，使得面AMN与面MNCB所成的二面角为30°，那么四棱锥A—MNCB的体积为〔〕

A、B、C、D、3

例17.如图，四棱锥P—ABCD中，底面是一个矩形，AB＝3，AD＝1，又PA⊥AB，PA＝4，∠PAD＝60°

PA

P

A

H

E

D

B

C

求二面角P－BC－D的大小.

RrAO1O例18.〔2006年全国卷Ⅱ〕圆O1是半径为R的球O的一个小圆，且圆O1的面积与球O的外表积的比值为，那么线段OO1

R

r

A

O1

O

【专题训练与高考预测】

一、选择题

1．如