概率论与数理统计课件（学生）.pdfVIP

第2章随机变量及其分布函数

统计学和数据挖掘都与数据有关.如何将样本空间和事件同数据联系起来呢?这条纽带就

是随机变量.另外,一个随机试验可能有很多结果,如何方便地将这一系列结果及其相应的

概率表达出来,从而可以应用现代的数学方法来研究,随机变量就是这样的一种工具.

2.1离散型随机变量及其分布

2.1.1随机变量(randomvariable)

问题:如何将随机试验的结果数量化?

ΩnΩ={ω,,ω}

例2.1.1设是包含个人的样本空间1n,如果我们感兴趣其年龄分布,记

A(ω)为ω的年龄,则得到一个Ω→R,ωA(ω).类似地,可以用函数

ωH(ω),ωW(ω),ωI(ω)

分别代表高度、重量和收入.

为了医学上的需要,高度与重量的线性组合也可以作为一个合适的度量.

ωλH(ω)+μH(ω)(λμ,∈R)

Ω中年龄介于20到40的集合可记为

{ω20≤A(ω)≤40}(简记为{20≤A≤40})

这样

{ω65≤H(ω)≤75}∩{ω120≤W(ω)≤180}

={ω65≤H(ω)≤75,120≤W(ω)≤180}={65≤H≤75,120≤W≤180}

Ωω

表示中高度在65到75之间,重量在120与180之间的集合.不难看出事件这样表达就

简洁多了.归结起来,相当于样本空间中的每一个样本点都用一个数字来表示,即

定义2.1.1随机变量是一个映射ξ

X(有的书也用等表示)

X:Ω→R,ωX(ω)∈R

其中ω是样本点,R为实数集.

MainConceptsRelatedtoRandomVariables

Startingwithaprobabilisticmodelofanexperiment:

•Arandomvariableisareal-valuedfunctionoftheoutcomeoftheexperiment.

•Afunctionofarandomvariabledefinesanotherrandomvariable.

•Wecanassociatewitheachrandomvariablecertain“averages”ofinterest,suchthemeanand

thevariance.

•Arandomvariablecanbeconditionedonaneventoronanotherrandomvariable.

•Thereisanotionofindependenceofarandomvariablefromaneventorfromanotherrandom

variable.

例2.1.2印一本书,假设印1-1000本,成本为3元/本;印1000-5000本,成本为2元/本;印

5000本以上,成本为1元/本,若书定价为5元/本,求盈亏函数.

1

2.1.2离散型随机变量

定义2.1.2如果随机变量ξ的取值至多可列,