专题3.2 函数的单调性与最值【原卷版】.docx

专题3.2函数的单调性与最值

【核心素养】

1.以常见函数为载体，考查函数的单调性，凸显数学运算的核心素养．

2.与不等式、方程等相结合考查函数的单调性或求参数问题，凸显分类讨论思想的应用及数学运算的核心素养．

3.与函数、不等式结合，考查单调性在求最值方面的应用，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．

知识点一

知识点一

函数的单调性

1．增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；

2．减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有

，那么就说函数在区间上是减函数.

3．单调区间的定义

若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．

4.【特别警示】

（1）单调区间必须是一个区间，不能是两个区间的并，如不能写成函数y＝eq\f(1,x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，而只能写成在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数．

（2）区间端点的写法；对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点．

知识点二

知识点二

函数的最值

1.最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：

（1）对于任意的，都有；

（2）存在，使得.

那么，我们称是函数的最大值.

2.最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：

（1）对于任意的，都有；

（2）存在，使得.

那么，我们称是函数的最小值.

知识点三

知识点三

常用结论

(1)函数f(x)与f(x)＋c(c为常数)具有相同的单调性．

(2)k0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反．

(3)若f(x)恒为正值或恒为负值，则f(x)与具有相反的单调性．

(4)若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时，f(x)·g(x)是增(减)函数；当两者都恒小于零时，f(x)·g(x)是减(增)函数．

(5)在公共定义域内，增＋增＝增，减＋减＝减，增－减＝增，减－增＝减．

(6)复合函数y＝f[g(x)]的单调性判断方法：“同增异减”．

常考题型剖析

常考题型剖析

题型一：单调性的判定和证明

【典例分析】

例1-1.（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（????）

A． B． C． D．

例1-2.（2023·河南·校联考模拟预测）下列函数中，在区间上单调递增的是（????）

A． B． C． D．

【规律方法】

掌握确定函数单调性(区间)的4种常用方法

(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质进行判断．

(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性．

（3）熟悉一些常见的基本初等函数的单调性.

（4）导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．

【变式训练】

变式1-1.（2023·北京海淀·校考三模）下列函数中，在区间上是减函数的是（????）

A． B． C． D．

变式1-2.【多选题】（2021·全国高一课时练习）设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论不一定正确的是（）

A．y=在R上为减函数 B．y=|f(x)|在R上为增函数

C．y=在R上为增函数 D．y=--f(x)在R上为减函数

题型二：求函数的单调区间

例2-1.函数f(x)=x

A.(?∞,?2]B.(?∞,1]C.[1,+∞)D.[4,+∞)

例2-2.（2023·北京密云·统考三模）设函数.

①当时，的单调递增区间为___________；

②若且，使得成立，则实数a的一个取值范围________.

【规律方法】

确定函数的单调区间常见方法：

1.利用基本初等函数的单调区间

2.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.

3.复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.

4.导数法：不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递增区间，不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递减区间.

【变式训练】

变式2-1.（2023·海