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专题3.5指数与指数函数
【核心素养】
1.以指数函数为载体,考查函数的单调性、待定系数法、换元法等,凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
2.与不等式、方程等相结合考查函数的图象、单调性、奇偶性,凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用及数学运算的核心素养.
3.与对数函数、不等式、方程等结合,考查函数的实际应用以及函数性质的综合应用,凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
知识点一
知识点一
根式和分数指数幂
1.n次方根
定义
一般地,如果xn=a,那么x叫做a的__n次方根__,其中n>1,且n∈N*
个数
n是奇数
a>0
x>0
x仅有一个值,记为eq\r(n,a)
a<0
x<0
n是偶数
a>0
x有两个值,且互为相反数,记为±eq\r(n,a)
a<0
x不存在
2.根式
(1)概念:式子eq\r(n,a)叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数.
(2)性质:
①(eq\r(n,a))n=a.
②eq\r(n,an)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a,n为奇数,,|a|,n为偶数.))
3.分数指数幂
(1)规定:正数的正分数指数幂的意义是aeq\f(m,n)=eq\r(n,am)(a0,m,n∈N*,且n1);正数的负分数指数幂的意义是a-eq\f(m,n)=eq\f(1,\r(n,am))(a0,m,n∈N*,且n1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质:aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a0,b0,r,s∈Q.
知识点二
知识点二
指数函数的图象和性质
1.概念:函数y=ax(a0且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是变量,函数的定义域是R,a是底数.
2.指数函数的图象与性质
a1
0a1
图象
定义域
R
值域
(0,+∞)
性质
过定点(0,1),即x=0时,y=1
当x0时,y1;
当x0时,0y1
当x0时,y1;
当x0时,0y1
在(-∞,+∞)上是增函数
在(-∞,+∞)上是减函数
常考题型剖析
常考题型剖析
题型一:根式、指数幂的化简与求值
【典例分析】
例1-1.(2023·全国·高三专题练习)化简的结果为()
A. B. C. D.
例1-2.(2023·全国·高三专题练习)计算:①=________.
②=________.
【规律方法】
1.化简原则:①化根式为分数指数幂;②化负指数幂为正指数幂;③化小数为分数;④注意运算的先后顺序.
2.结果要求:①若题目以根式形式给出,则结果用根式表示;②若题目以分数指数幂的形式给出,则结果用分数指数幂的形式表示;③结果不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既有分母又有负分数指数幂.
【变式训练】
变式1-1.计算:×0+×-=________.
变式1-2.(2023·全国·高三专题练习)计算化简:
(1)=________;
(2)=________.
题型二:根式、指数幂的条件求值
例2-1.(2023·全国·高三专题练习)已知,,则下列结论正确的是(????)
A. B. C. D.
例2-2.已知,求下列各式的值.
(1);(2);(3)
【规律方法】
根式、指数幂的条件求值,是代数式求值问题的常见题型,一般步骤是:
(1)审题:从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点;
(2)化简:①化简已知条件;②化简所求代数式;
(3)求值:往往通过整体代入,简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想,考查完全平方公式、立方和(差)公式的应用,如(x12+x
【变式训练】
变式2-1.(2022·北京·统考高考真题)已知函数,则对任意实数x,有(????)
A. B.
C. D.
变式2-2.设,求的值.
题型三:指数函数的解析式、求值
【典例分析】
例3-1.(2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测)若函数为偶函数,且当时,,则________.
例3-2.(2023·全国·高三专题练习)设函数,且,,则的解析式为____________.
【方法技巧】
1.确定函数的解析式,常常利用“待定系数法”.
2.求指数函数相关函数值,可以先求解析式,再求值,也可以利用函数的其它性质,如函数的奇偶性,如例3-2.
【变式训练】
变式3-1.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在上的函数是奇函数,函数为偶函数,当时,,则(???)
A. B. C. D.
变式3-2.(2023·全国·高三专题练习)已知函数是定义域为的奇函数,且当时,.求函数的解析式.
题型四:指数函数相关定义域、值域问题
【典例分析】
例4-1.【多选题】(2023·全国·
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