部编数学八年级上册专项09平行+线段中点构造全等模型综合应用（解析版）含答案.pdfVIP

09+

专项平行线段中点构造全等模型综合应用

【结论】如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O为EF

中点，则△POE≌△QOF

口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行

【典例1】（1）方法回顾证明：三角形中位线定理．

已知：如图1，DE是△ABC的中位线．求证：．

证明：

（2）问题解决：如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边

上的点，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．

【解答】（1）已知：如图1，DE是△ABC的中位线．求证：DE∥BC，DE＝BC，

证明：过点C作CF∥BA交DE的延长线于点F，

∴∠A＝∠ACF，∠F＝∠ADF，

∵点E是AC的中点，

∴AE＝EC，

∴△ADE≌△CFE（AAS），

∴DE＝EF＝DF，AD＝CF，

∵点D是AB的中点，

∴AD＝DB，

∴DB＝CF，

∴四边形DBCF是平行四边形，

∴DF∥BC，DF＝BC，

∴DE∥BC，DE＝BC，

故答案为：DE∥BC，DE＝BC；

（2）延长GE，CD交于点H，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，

∴∠A＝∠ADH，∠AGE＝∠H，

∵点E是AD的中点，

∴AE＝DE，

∴△AGE≌△DHE（AAS），

∴AG＝DH＝3，GE＝EH，

∵DF＝4，

∴FH＝DH+DF＝7，

∵∠GEF＝90°，

∴FE是GH的垂直平分线，

∴GF＝FH＝7，

∴GF的长为7．

【变式1-1】已知：AD是△ABC的角平分线，点E为直线BC上一点，BD＝DE，过点E

作EF∥AB交直线AC于点F，当点F在边AC的延长线上时，如图①易证AF+EF＝

AB；当点F在边AC上，如图②；当点F在边AC的延长线上，AD是△ABC的外角平

分线时，如图③．写出AF、EF与AB的数量关系，并对图②进行证明．

【解答】（1）证明：如图①，延长AD、EF交于点G，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵EF∥AB，

∴∠G＝∠BAD，

∴∠G＝∠CAD，

∴FG＝AF，

在△ABD和△GED中，

，

∴△ABD≌△GED（AAS），

∴AB＝GE，

∵GE＝FG+EF＝AF+EF，

∴AF+EF＝AB；

（2）结论：AF﹣EF＝AB．

证明：如图②，延长AD、EF交于点G，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵EF∥AB，

∴∠G＝∠BAD，

∴∠G＝∠CAD，

∴FG＝AF，

在△ABD和△GED中，

，

∴△ABD≌△GED（AAS），

∴AB＝GE，

∵GE＝FG﹣EF＝AF﹣EF，

∴AF﹣EF＝AB；

（3）结论：EF﹣AF＝AB．

证明：如图③，延长AD交EF于点G，

∵AD平分∠PAC，

∴∠PAD＝∠CAD，

∵EF∥AB，

∴∠AGF＝∠PAD，

∴∠AGF＝∠CAD，∠ABD＝∠GED，

∴FG＝AF，

在△ABD和△GED中，

，

∴△ABD≌△GED（ASA），

∴AB＝GE，

∵EF﹣FG＝GE，

∴EF﹣AF＝AB；

【变式1-2】如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA⊥

OC．

（1）求证：CO平分∠ACD；

（2）求证：AB+CD＝AC．

【解答】解：

（1）如图，延长AO交