莱布尼兹公式.pdfVIP

3.1.4牛顿—莱布尼兹

如果物体以速度vv(t)(v(t)0)作直线，

那么物体从时刻ta到时刻tb所经过的路程为：

b

ABv(t)dt，

a

另一方面，如果物体经过的路程SS(t)，那么物体

从时刻ta到时刻tb所经过的路程为ABS(b)−S(a)。

b

即：v(t)dtS(b)−S(a)，

其中S(t)v(t)。

a

定理：设f(x)在[a,b]上可积，且存在[a,b]



上一个可微函数F(x)，使得F(x)f(x)，

b

则f(x)dxF(b)−F(a)，（※）

a

bbb

简记为f(x)dx＝[F(x)]＝F(x)。

aa

a

（※）称为牛顿—莱布尼兹。

证明：任取[a,b]上的一组分点

axx1x2xi−1xixn−1xnb,

n

则F(b)−F(a)[F(x)−F(x)]，

ii−1

i1

由Lagrange中值定理可知，存在(x,x)，使得

ii−1i



F(x)−F(x)F()xf()x,

ii−1iiii

nn



从而F(b)−F(a)F()xf()x

iiii

i1i1

令maxx,

i

1in