专题11.1 两个计数原理【原卷版】.docx

专题11.1两个计数原理

【核心素养】

1.考查对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解及简单应用，凸显数学建模的核心素养．

知识点

知识点一

分类计数原理

分类加法计数原理（加法原理）的概念

一般形式：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，……，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N=++……+种不同的方法.

知识点

知识点二

分步计数原理

分步乘法计数原理(乘法原理)的概念

一般形式：完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法.

知识点

知识点三

两个原理的区别

（1）“每类”间与“每步”间的关系不同：分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同类之间的任何一种方法都是相互独立，互不依赖的，且是一次性的；而分步乘法计数原理中的每一步是相互依赖，且是连续性的.

（2）“每类”与“每步”完成的效果不同：分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后，整个事件就完成了，而分步乘法计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事.

3.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行，同时要优先考虑题中的限制条件.

知识点

知识点四

计数问题的常用解法

(1)枚举法：将各种情况通过树形图、表格等方法一一列举出来．它适用于计数种数较少的情况，分类计数时将问题分类实际上就是将分类种数一一列举出来．

枚举法是一种解决问题的基本方法，当计数的种数不是很多时，都可以用此方法解决．

(2)间接法：若计数时分类较多，或无法直接计算时，可用间接法，先求出没有限制条件的种数，再减去不满足条件的种数．

(3)字典排序法：字典排序法就是把所有的字母分为前后，先排前面的字母，前面的字母排完后再依次排后面的字母，最后的字母排完，则排列结束．

利用字典排序法并结合分步乘法计数原理可以解决与排列顺序有关的计数问题，利用字典排序法还可以把这些排列不重不漏地一一列举出来．

(4)模型法：模型法就是通过构造图形，利用形象、直观的图形帮助我们分析、解决问题的方法．模型法是解决计数问题的重要方法．

常考题型剖析

常考题型剖析

题型一：分类计数原理的应用

【典例分析】

例1-1．（2022·四川成都·双流中学校考模拟预测）如图，小黑圆表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息（????）

??

A．26 B．24 C．20 D．19

例1-2.（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，在中任取一元素，在中任取一元素，组成数对，则其中的数对有多少个?

【总结提升】

利用分类加法计数原理解题的一般步骤

(1)分类，即将完成这件事情的方法分成若干类；

(2)计数，求出每一类中的方法数；

(3)结论，将各类的方法数相加得出结果．

【变式训练】

变式1-1．（2023上·广东湛江·高三统考阶段练习）某企业面试环节准备编号为的四道试题，编号为的四名面试者分别回答其中的一道试题（每名面试者回答的试题互不相同），则每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不同的情况共有（????）

A．9种 B．10种 C．11种 D．12种

变式1-2.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有()

A．3种 B．4种

C．7种 D．12种

题型二：分步计数原理的应用

【典例分析】

例2-1.（2022·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（???????）

A．12种 B．24种 C．36种 D．48种

例2-2.（2023上·高二课时练习）“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相同，若中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从小到大排列的，则不同的填法种数为（????）

A．72 B．108

C．144 D．196

【总结提升】

利用分步乘法计数原理解题的一般思路．

(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；

(2)计数：求出每一步中的方法数；

(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．

【变式训练】

变式2-1.（高考真题）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（????）

A．10种 B．20种 C．25种 D．32种

变式2-2