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24考研高数练习题

一、极限与连续

1.计算下列极限：

(1)lim(x→0)(sinx/x)

(2)lim(x→1)(1cosx)/x^2

(3)lim(x→+∞)(1+1/x)^x

2.判断下列函数在指定点处是否连续：

(1)f(x)=|x|,在x=0处

(2)f(x)=sqrt(x^21),在x=1处

(3)f(x)=(x^23x+2)/(x2),在x=2处

二、导数与微分

1.求下列函数的导数：

(1)y=x^33x+2

(2)y=(3x+1)^5

(3)y=ln(sqrt(x^2+1))

2.求下列函数的微分：

(1)y=e^xcosx

(2)y=arcsin(x^2)

(3)y=1/(1x^2)

三、中值定理与泰勒公式

1.验证下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理：

(1)f(x)=x^36x,在区间[2,2]上

(2)f(x)=e^xx1,在区间[0,1]上

2.求下列函数在指定点的泰勒公式：

(1)f(x)=e^x,在x=0处展开到x^3项

(2)f(x)=sinx,在x=π/2处展开到x^3项

四、不定积分与定积分

1.计算下列不定积分：

(1)∫(3x^22x+1)dx

(2)∫(e^xcosx)dx

(3)∫(1/(x^2+1))dx

2.计算下列定积分：

(1)∫_{0}^{1}(x^2+1)dx

(2)∫_{π/2}^{π/2}(sinx)dx

(3)∫_{0}^{+∞}(1/x^2)dx

五、多元函数微分学

1.计算下列函数的偏导数：

(1)z=x^2+y^2

(2)z=e^(x^2+y^2)

(3)z=ln(x^2+y^2)

2.求下列函数的全微分：

(1)z=x^2y^3

(2)z=arcsin(x+y)

六、线性代数与空间解析几何

1.解下列线性方程组：

(1)x+2yz=1

2xy+3z=4

3x+y2z=2

(2)x+y+z=1

2xy+3z=5

3x+2yz=6

2.求下列矩阵的行列式：

(1)

|123|

|456|

|789|

(2)

|213|

|406|

|135|

七、无穷级数

1.判定下列级数的收敛性：

(1)Σ(1/n^2)，n=1到∞

(2)Σ(n/(n+1)^2)，n=1到∞

(3)Σ(1/2^n)，n=1到∞

2.求下列幂级数的收敛区间：

(1)Σ(x^n/n)，n=1到∞

(2)Σ(n!x^n)，n=0到∞

(3)Σ((1)^nx^(2n)/n)，n=1到∞

八、常微分方程

1.求下列微分方程的通解：

(1)dy/dx=3x^2

(2)dy/dx=e^xy

(3)dy/dx+y=sinx

2.求下列微分方程的特解：

(1)y2y+y=e^x

(2)y+y=cosx

(3)(D^22D+1)y=x^2，其中D表示微分算子d/dx

九、复变函数

1.计算下列复数的模和辐角：

(1)1+i

(2)23i

(3)4i

2.求下列复变函数的导数：

(1)f(z)=z^2

(2)f(z)=e^z

(3)f(z)=ln(z)

十、概率论与数理统计

1.计算下列概率：

(1)从一副52张的标准扑克牌中随机抽取一张牌，抽到红桃的概率。

(2)抛掷两个骰子，两个骰子的点数之和为7的概率。

(3)一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出两个球，都是红球的概率。

2.已知一组数据的均值为50，标准差为5，求：

(1)数据大于60的概率。

(2)数据在45到55之间的概率。

答案

一、极限与连续

1.

(1)1

(2)1/2

(3)e

2.

(1)连续

(2)不连