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专题4齐次化妙解圆锥曲线问题
微点1齐次化妙解圆锥曲线问题
【微点综述】
直线与圆锥曲线位置关系,是高考的一个难点,而其中一个难在于运算,本微专题的目标在于采用齐次化运算解决直线与圆锥曲线的一类:斜率之和或斜率之积的问题.本专题重难点:一是在于消元的解法,即怎么构造齐次化方程;二是本解法的适用范围.亮点是用平面几何的视角解决问题.
圆锥曲线的定义、定值、弦长、面积,很多都可以转化为斜率问题,当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积,以往我们的常用解法是设直线,与圆锥曲线方程联立方程组,韦达定理,再将斜率之和或之积的式子通分后,将和代入,得到关于k、b的式子.解法不难,计算量较为复杂.
如果采用齐次化解决,直接得到关于k的方程,会使题目计算量大大减少.
“齐次”即次数相等的意思,例如称为二次齐式,即二次齐次式的意思,因为中每一项都是关于x、y的二次项.
如果公共点在原点,不需要平移.如果不在原点,先平移图形,将公共点平移到原点,无论如何平移,直线斜率是不变的.注意平移口诀是“左加右减,上减下加”,你没有看错,“上减下加”,因为是在等式与同侧进行加减,我们以往记的“上加下减”都是在等式与的异侧进行的.
例:向上平移1个单位,变为,即,
向上平移1个单位,变为.
设平移后的直线为(为什么这样设?∵这样齐次化更加方便,相当于“1”的妙用),与平移后的圆锥联立,一次项乘以,常数项乘以,构造,然后等式两边同时除以(前面注明x不等于0),得到,可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积,,,即可得出答案.如果是过定点题目,还需要还原,之前如何平移,现在反平移回去.
总结解法为:①平移;②联立并齐次化;③同除以;④韦达定理.证明完毕,若过定点,还需要还原.
优点:大大减小计算量,提高准确率!缺点:不能表示过原点的直线,少量题目需要讨论.
一、齐次化运算的前世——韦达定理
1.韦达定理发展简史
法国数学家弗朗索瓦·韦达(Fran?oisViète,1540-1603)在著作《论方程的识别与订正》中改进了三、四次方程的解法,还对的情形,建立了方程根与系数之间的关系,现代称之为韦达定理.证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性.
2.韦达定理:设关于的一元二次方程的两根为,则.
韦达定理是本微专题的理论基础..
引例1.已知和是方程的两个根,求的值.
【解析】解法1:.
解法2:方程两边同除以,得,由韦达定理得.
引例2.设是方程组的两组根,求的值.
【分析】如果可以建立关于以为未知数的一元二次方程,那么就是对应方程的两根之和了.所以本运算的关键是如何通过消元得到:
,再由方程两边同时除以.消元得到方程是个二次齐次式,所以把本计算方法命名为:齐次化运算.观察,发现已经为二次式,关键在于将化成二次式,由可得,,整理可得,显然不是方程的根,方程两边同时除以可得:关于为未知数的一元二次方程:,则由韦达定理可得:.
二、齐次化运算的今生——韦达定理遇到笛卡尔解析几何
例1.直线与抛物线交于,求.(用表示)
【解析】联立,齐次化得,等式两边同时除以,,
∴.
例2.直线与椭圆交于,求(用表示).
【解析】齐次化联立得:,等式两边同时除以,,∴.
引例3.已知动直线l的方程为.
(1)若,求直线l的斜率;
(2)若,求直线l所过的定点;
(3)若,求直线l所过的定点;
(4)若,求直线l所过的定点;
(5)若,求直线l所过的定点.
【解析】(1).
(2),消去n,令,∴过定点.
(3)整理得∴过定点.
(4)整理得,∴过定点.
(5)整理得,∴过定点.
例3.抛物线,直线l交抛物线于A、B两点,且,求证:直线l过定点.
【解析】设直线AB方程为,,联立得,,∴直线过定点.
例4.不过原点的动直线交椭圆于A、B两点,直线OA、AB、OB的斜率成等比数列,求证:直线l的斜率为定值.
【解析】设直线AB方程为,,
联立得,
于是,又,∴,得.
三、型怎么采用齐次化运算解决,平移是关键
引例4.已知椭圆,按照平移要求变换椭圆方程,并化简平移后的椭圆方程.
(1)将椭圆向左平移1个单位,求平移后的椭圆;
(2)将椭圆向右平移2个单位,求平移后的椭圆;
(3)将椭圆向上平移3个单位,求平移后的椭圆;
(4)将椭圆向下平移4个单位,求平移后的椭圆;
(5)将椭圆向左平移1个单位,向下平移个单位,求平移后的椭圆;
(6)将椭圆向左平移2个单位,向下平移1个单位,求平移后的椭圆.
【解析】(1),即.
(2),即.
(3),即.
(4),即.
(5),即.
(6),即.
例5.抛物线,,直线l交抛物线于A、B两点,,求证:直线l过定点.
【解析】将图形向左平移1个单位,向下平移2个单位,平移后的抛物
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