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空间几何体的外表积与体积
一、柱体、锥体、台体的外表积
A.多面体的外表积
1.多面体的外表积求法:求平面展开图的面积
注:把多面体的各个面平铺在平面上,所得图形称之为多面体的平面积展开图.
2.直棱柱的侧面积与全面积
〔1〕侧面积
①求法:侧面展开〔如图〕;
②公式:〔其中为底面周长,为侧棱长〕;
〔2〕外表积:侧面积+两底面积.
〔3〕推论:
①正棱柱的侧面积:〔其中为底面周长,为侧棱长〕.
②长方体的外表积:.〔其中分别为长方体的长宽高〕
③正方体的外表积:〔为正方体的棱长〕.
3.斜棱柱侧面积与全面积
〔1〕侧面积:
①求法:作出直截面〔如图〕;
注:这种处理方法蕴含着割补思想.
②公式:〔其中为直截面周长,为侧棱长〕;
〔2〕外表积:侧面积+两底面积.
4.正棱锥的侧面积与全面积
〔1〕侧面积
①求法:侧面展开〔如图〕;
②公式:〔其中为底面周长,为斜高〕;
〔2〕外表积:侧面积+底面积.
5.正棱台的侧面积与全面积
〔1〕侧面积
①求法:侧面展开〔如图〕;
②公式:〔其中、为底面周长,为斜高〕;
〔2〕外表积:侧面积+两底面积.
6.正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式间的内在联系:
正棱台侧面积公式:
正棱台侧面积公式:
正棱柱侧面积公式:
正棱锥侧面积公式:
B.旋转体的外表积
1.圆柱的侧面积与全面积
〔1〕侧面积:
①求法:侧面展开〔如图〕;
②公式:〔为两底半径,为母线长〕;
〔2〕外表积:.
2.圆锥的侧面积与外表积
〔1〕侧面积
①求法:侧面展开〔如图〕;
②公式:;
〔2〕外表积:〔为两底半径,为母线长〕.
事实上:圆锥侧面展开图为扇形,扇形弧长为,半径为圆锥母线,故面积为.
3.圆台的侧面积与外表积
〔1〕侧面积
①求法:侧面展开〔如图〕;
②公式:;
事实上:圆台侧面展开图为扇环,扇环的弧长分别为、,半径分别为、,故圆台侧面积为
,∵,∴.
〔2〕外表积:.〔、分别为上、下底面半径,为母线长〕
4.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的内在联系:
圆台侧面积公式:
圆台侧面积公式:
圆柱侧面积公式:
圆锥侧面积公式:
二、柱体、锥体、台体的体积
A.棱柱、棱锥、棱台的体积
1.棱柱体积公式:〔为高,为底面面积〕;
2.棱锥体积公式:〔为高,为底面面积〕;
3.棱台体积公式:〔为高,、分别为两底面面积〕.
事实上,设小棱锥高为,那么大棱锥高为.于是.
∵,
∴.
圆台侧面积公式:圆柱侧面积公式:圆锥侧面积公式:4.棱柱、棱锥、棱
圆台侧面积公式:
圆柱侧面积公式:
圆锥侧面积公式:
B.圆柱、圆锥、圆台的体积
1.圆柱的体积:〔为高,为底面半径〕.
2.圆锥的体积:〔为高,为底面半径〕.
3.圆台的体积:〔、分别为上、下底半径,为高〕.
事实上,设小圆锥高为,那么大圆锥高为〔如图〕.
于是.
∵,∴.
圆台体积公式:圆柱体积公式:圆锥体积公式:4.圆柱、圆锥、圆
圆台体积公式:
圆柱体积公式:
圆锥体积公式:
三、球的体积与外表积
1.球的体积.
2.球的外表积.
四、题型例如
A.直用公式求面积、求体积
例1〔1〕一个正三棱柱的底面边长为4,侧棱长为10,求其侧面积、外表积和体积;
侧面积:120;外表积:120+;体积.
〔2〕一个圆台,上、下底面半径分别为10、20,母线与底面的夹角为60°,求圆台的侧面积、外表积和体积;
侧面积:;外表积:;体积:.
〔3〕球的外表积是,求它的体积.结果:.
〔4〕在长方体中,用截面截下一个棱锥,求棱锥的体积与剩余局部的体积之比.结果.
练习:
1.正四棱锥底面正方形的边长为4cm,高与斜高的夹角为,求正四棱锥的侧面积和外表积.结果:,.
2.平行四边形中,,,,以为轴旋转一周,得旋转体.求旋转体的外表积.
结果:.
3.正方体的棱长为1,那么沿面对角线、、截得的三棱锥的体积为C
A.B.C.D.1
4.正四棱台两底面均为正方形,边长分别为4cm、8cm,求它的侧面积和体积.
结果:侧面积:;体积:.
5.正四棱锥各侧面均为正三角形,侧棱长为5,求它的侧面积、外表积和体积.
结果:侧面积:;外表积:;体积:.
6.假设正方体的棱长为,那么以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为.
俯
俯视图
2
2
正〔主〕视图
2
侧〔左〕视图
2
2
2
B.根据三视图求面积、体积
例3一空间几何体的三视图如下图,那么该几何体的体积为
A.B.
C.D.
结果:C.
练习:
正视图侧视图俯视图4
正视图
侧视图
俯视图
4
如下图,那么这个棱柱的体积为.
结果:.
正视图侧视图俯视图2
正视图
侧视图
俯视图
直角三角形的直角边长均为1,那么这个几何体的体积为
A.1B.
C.D.
答案:C.
3.如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰
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