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第二章代数
第一节集合、数与式
B1－001把含有12个元素的集分成6个子集，每个子集都含有2个元素，
有多少种分法？
【题说】1969年～1970年波兰数学奥林匹克三试题5．
【解】将12个元素排成一列有12！种方法．排定后，从左到右每2个
一组就得到6个2元子集．同一组中2个元素顺序交换得到的是同一子集．6
个子集顺序交换得到的是同样的分法，因此共有
种不同的分法．
[别解]设a是集中的一个元素，将a与其余11个元素中的任一个结合，
11
就得到含a的2元子集，这种2元子集共有11种．
1
确定含a的子集后，设a是剩下的一个元素，将a与其余9个元素中
122
的任一个结合，就得到含a的2元子集，这种子集共有9种．
2
如此继续下去，得到6个2元子集．共有11×9×7×5×3=10395种分
法．
B1－002证明：任一个有限集的全部子集可以这样地排列顺序，使任何两个邻接的
集相差一个元素．
【题说】1971年～1972年波兰数学奥林匹克三试题5．
【证】设有限集A含n个元素．当n=1时，子集序列φ，A即满足条件．
假设n=k时命题成立，对于k＋1元集
A=｛x，x，…，x｝
12k+1
由归纳假设，{x，x，…，x}的子集可排成序列
12k
B，B，…，B（t=2k）
12t
满足要求．因此A的子集也可排成序列
用心爱心专心1
B，B，…，B，B∪{x}，B∪{x}，…，B∪{x}B∪{x}，满足要求．
12ttk+1t-1k+12k+11k+1
于是命题对一切自然数n均成立．
B1－003设1≤r≤n，考虑集合{1，2，3，…，n}的所有含r个元素
的子集及每个这样的子集中的最小元素，用F（n，r）表示一切这样的子集
各自的最小元素的算术平均数．证明：
【题说】第二十二届（1981年）国际数学奥林匹克题2．
这n－k个数中选出）．所以
将（1）式右边的和写成一个表
将上表每一行加起来，再将这些行和相加便得（1）的右边的分子，现
用心爱心专心2
B1－004定义一个数集的和为该集的所有元素的和．设S是一些不
大于15的正整数组成的集，假设S的任意两个不相交的子集有不相同的和，
具有这个性质的集合S的和的最大值是多少？
【题说】第四届（1986年）美国数学邀请赛题12．
【
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