《函数的单调性（4）》教学设计.docx

教学设计

课程基本信息

学科

数学

年级

高二

学期

春季

课题

函数的单调性（4）

教科书

书名：《普通高中教科书·数学》(人教A版2019课标版)选择性必修第二册

教学目标

掌握导函数的应用：1.知道函数的单调性求参数的范围，

2.根据函数的单调性比较大小和解不等式，体会转化与化归的数学思想.

教学内容

教学重点：

能将函数的单调性问题转化为不等式问题．

教学难点：

构造新函数判断单调性，比较数的大小和解不等式。

教学过程

一复习回顾：

复习函数的单调性与导函数正负之间的关系是：

如果在某个区间a,b上f(x)0，那么f(x)在区间a,b上单调递增；

如果在某个区间a,b上f(x)0，那么f(x)在区间

如果在某个区间a,b上恒有f(x)=0，那么f(x)=

注意：

①f(x)0是函数f(x)单调递增的充分不必要条件；

②f(x)0是函数

提出之前的课后思考题：导函数的什么是原函数增和减的充要条件呢？

师生活动：教师提出问题后，抽学生口答，师再以y=x

函数f(x)在区间a,b内单调递增充要条件是其f(x)≥0在区间a,b内恒成立.且导函数f(x)在a,b

函数f(x)在区间a,b内单调递减充要条件是其f(x)≤0在区间a,b内恒成立.且导函数f(x)在a,b

设计意图：复习巩固结论，让学生知道导数的正负能判断函数单调性，但导数的正负是函数单调性的充分不必要条件，也得到了原函数单调递增单调递减与导函数的充要条件关系。

二例题探究：

例1已知函数f(x)=x2+aln(x+1)

解析：因为f(x)=x

所以f(x)=2x+ax+1

即a≥

因为?2x2

所以a≥-4.检验a=-4时，f(x)=2x+

所以a的取值范围是?4，

师生活动：让学生先独立思考，师再带领学生一起分析完整的解题过程。

设计意图：这是已知函数单调性求参数，第一次利用导数解这类题，完整的书写和严密的分析，老师都应该起示范作用。

反思小结：师引导生概括，已知函数单调性求参数时的一般步骤：

①将原函数在某区间单调递增等价转化为导函数在该区间上大于等于0恒成立，将原函数在某区间单调递减转化为导函数在该区间上小于等于0恒成立，②恒成立问题，一般用分离参数将不等式化简，③将不等式恒成立问题又等价转化为函数的最值问题，④注意一定要将参数取等号的值带入导函数检验是否恒等于0，原函数是是否为常数函数，若是就舍去，反之就不舍。⑤得到参数的范围

设计意图：不仅本题已知单调性可转化为不等式的恒成立问题，对其它已知函数的单调性求参数也能转化为不等式恒成立问题，注意最后等号的检验。达到学习转化与化归的数学思想，以及从特殊到一般的数学方法。

例2已知函数f(x)=x2+aln(x+1)

解析：因为f(x)=x

所以f(x)=2x+ax+1

即a≥

因为?2x2

所以a-40.所以a的取值范围是

师生活动：让学生先独立思考，师再带领学生一起分析完整的解题过程。

设计意图：这是已知函数在某个区间上存在单调性求参数，第一次利用导数解这类题，完整的书写和严密的分析，老师都应该起示范作用。

反思小结：师引导生概括，已知函数在某个区间上存在单调性求参数时的一般步骤：

①将原函数在某区间存在单调递增等价转化为导函数在该区间上大于0有解，将原函数在某区间上存在单调递减转化为导函数在该区间上小于0有解，②有解问题，一般用分离参数将不等式化简，③将不等式有解问题又等价转化为函数的最值问题，④得到参数的范围。

设计意图：不仅本题已知函数在某个区间上存在单调性可转化为不等式的有解问题，对其它已知函数在某个区间存在单调性求参数也能转化为不等式的有解问题，达到学习转化与化归的数学思想，以及从特殊到一般的数学方法。将例1，例2对比，可以更深刻的理解函数的单调性与导函数的关系，对比学习，从而解两种不同类型的题目。

例3已知已知a=ln22,b=1e,c=2ln3

abc B.ca

师生活动：引导生一起分析，a=ln2

发现f(x)=lnxx

研究函数f(x)=lnxx的单调性：f(x)=1?lnxx2

当0xe时，f(x)0，当xe时，f(x)

又a=f(2)=ln2

因为94e，

所以f(9)f(4)

引导生小结，用构造函数法比较数a,b的大小的一般步骤是：

⑴找到a，b相同和不同之处；

⑵构造即找到一个函数f(x)，使得a=f(x1)

⑶判断函数f(x)的单调性

⑷将x1，x

⑸根据函数f(x)的单调性得a，b的大小关系

师再总结，在构造函数时要认真观察，只有找到数与数的区别和联系，才知道构造哪个函数，一般用到下面这些函数;①f(x)=xlnx②f(x)=xlnx③f(x)=lnxx④f(x)=lnx?x+1⑤f(x)=xex⑥

设计意图：将数的大小比较转化为函数值