节闭区间上连续函数性质.pptxVIP

闭区间上连续函数的性质一.最大值和最小值定理二.介值定理

最大值和最小值定理设f(x)?C([a,b]),则(i)f(x)在[a,b]上为以下四种单调函数时aObxyaObxyOabxyOabxy

y=f(x)?[a,b],y=f(x)?[a,b],此时,函数f(x)恰好在[a,b]的端点a和b处取到最大值和最小值.则则

(ii)y=f(x)为一般的连续函数时xyaa1a2a3a4a5a6bmamby=f(x)O

(最大值和最小值定理)若f(x)?C([a,b]),则它在该闭区间上,至少取到它的最大值和最小值各一次.在定理中,闭区间的条件是很重要的,例如,y=x在(1,3)内连续,但它不能取到它的最大值和最小值.定理

若f(x)?C([a,b]),则f(x)在[a,b]上有界.xyaa1a2a3a4a5a6bmamby=f(x)O看图就知道如何证明了.推论

f(x)在[a,b]上可取到它的最大值M和?f(x)?C([a,b])故m?f(x)?M,x?[a,b],|f(x)|?M*,x?[a,b],令M*=max{|m|,|M|},则即f(x)在[a,b]上有界.最小值m,证

二.介值定理axyy=f(x)f(a)bf(b)Of(x)?C([a,b]),f(a)f(b)0,f(?)＝0.先看一个图描述一下这个现象

(根存在定理或零点定理)则至少存在一点??(a,b),使得f(?)＝0.设f(x)?C([a,b]),且f(a)f(b)0,axyy=f(x)f(a)bf(b)O如何证明？定理1

证明的思想方法—区间套法将区间[a,b]等分为[a,a1]和[a1,b],在这两个区间中,选择与[a,b]性质相同的一个,例如,若f(a1)f(b)0,则选取区间如此下去,小区间的长度趋于零,并且[a1,b],然后,对[a1,b]进行等分,并进行选择,又得一个新的小区间.总保持函数区间端点值反号的性质,由函数的连续性,这些小区间的左端点或右端点构成的数列的极限值,就是要求的??(a,b).

f(a)=Af(b)=Byy=f(x)f(?)=C下面看看,坐标平移会产生什么效果.xxxxOabx如何描述这个现象?

(介值定理)设f(x)?C([a,b]),f(a)＝A,f(b)＝B,且A?B,则对于A,B之间的任意一个数C,至少存在一点??(a,b),使得f(?)=C.定理2

令?(x)=f(x)?C故由根存在定理,至少存在一点??(a,b)使则?(x)?C([a,b])?C在A,B之间??(a)??(b)=(f(a)?C)?(f(b)?C)=(A?C)(B?C)0yBCAOab??bx证?(?)=0,即f(?)=C.

最大、最小值定理介质定理？引入设f(x)?C([a,b]),则f(x)取得值m之间的任何一个值.推论介于其在[a,b]上的最大值M和最小

设f(x)?C([a,b]),证明:至少存在一点??[x1,xn],使得例1ax1x2…xnb,

证由介值定理,至少存在一点??(x1,xn),使

证明方程x5–3x=1,在x=1与x=2之间令f(x)=x5–3x–1,x?[1,2],则f(x)?C([1,2]),又f(1)=–3,f(2)=25,f(1)?f(2)0,即方程在x=1与x=2之间至少有一根.故至少存在一个??(1,2),使得f(?)=0,至少有一根.例2证

至少有一个不超过a+b的