专练01 均值不等式应用【解析版】.docx

热点题型速览专练01均值不等式应用

热点题型速览

热点一

热点一

直接应用型

1.（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中）已知，则下列不等式不一定成立的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】A选项，根据不等式基本性质得到；B选项，利用基本不等式求解；C选项，利用作差法比较大小；D选项，可举出反例.

【详解】A选项，因为，所以，不等式两边同时乘以，可得，故A正确；

B选项，因为，所以，由基本不等式可得，

当且仅当，即时，等号成立，但，故等号取不到，，B正确；

C选项，，

因为，，故，故，C正确；

D选项，不妨设，则

故选：D

2.设，，且，则的最大值为_______.

【答案】

【解析】

，，，

即，

当且仅当时等号成立，.

故答案为：

热点二

热点二

拆、并配凑型

3．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依题意可得，再利用基本不等式计算可得.

【详解】，

当且仅当，即时，等号成立，

故的最小值为.

故选：D

4．（2023·天津·高三专题练习）已知，则的最小值为____________．

【答案】4

【分析】将构造变形为，然后利用基本不等式即可求解．

【详解】由，

当且仅当，即时等号成立，故最小值为4，

故答案为：4．

5．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的最大值.

【答案】

【分析】由基本不等式，得，由此即可求出函数的最大值.

【详解】因为，所以，所以，

当且仅当即时，等号成立，当时，的最大值为

热点三

热点三

常值（1的）代换型

6．（湖北省圆梦杯2023届高三下学期统一模拟（二））若正数满足，则的最小值为（????）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】利用基本不等式及不等式的性质即可求解.

【详解】因为正数满足，

所以.

所以,

当且仅当，即时，取等号，

当时，取得的最小值为.

故选：A.

7．（2023春·湖南·高一校联考期中）已知正实数a，b满足，则的最小值是（????）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知可推得，然后根据“1”的代换，利用基本不等式，即可得出最小值.

【详解】由已知可得，，所以.

又，

所以.

当且仅当，即，时，等号成立.

所以，的最小值是.

故选：C.

8.（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）正数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围________．

【答案】

【分析】由均值不等式“1”的代换求出，则，解不等式即可求出答案.

【详解】解析：由题，

则，

∴，

解得:．

故答案为：.

热点四

热点四

逐次放缩型

9．（华大新高考联盟2023届高三下学期4月测评）已知正实数满足，则的最小值为（????）

A．20 B．40 C． D．

【答案】C

【分析】由两次应用基本不等式即可求解.

10．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值为（????）

A．5 B． C． D．

【答案】D

【分析】先根据基本不等式求出.然后即可根据不等式的性质得出，列出两个等号同时成立的条件，即可得出答案.

【详解】由已知可得，，，.

因为，

当且仅当，即时等号成立.

所以，，

当且仅当，即时，两个等号同时成立.

所以，.

故选：D.

【详解】，

当且仅当，即时等号成立，

故的最小值为.

故选：C.

11.（2021年天津高考真题）若，则的最小值为____________．

【答案】

【分析】两次利用基本不等式即可求出.

【详解】，

，

当且仅当且，即时等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：.

热点五

热点五

消元转化型

12．（2023·辽宁大连·统考三模）已知，且，则的最小值为__________.

【答案】

【分析】先对已知式子变形得，然后代入中，整理后利用基本不等式即可求出结果.

【详解】因为，所以，

又，所以，

所以

，

（当且仅当时取等号），

所以的最小值为，

故答案为：.

热点六

热点六

与三角交汇型

13．【多选题】（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学）已知，，且，则下列说法正确的是（????）

A．的最大值为 B．的最小值为8

C．的最大值为 D．的最大值为

【答案】ABD

【分析】根据给定条件，利用均值不等式结合配凑方法计算判断ABC；利用三角代换，结合辅助角公式，三角函数性质计算判断D作答.

【详解】，且，

对于A，，解得，当且仅当，即时取等号，A正确；

对于B，，当且仅当取等号，B正确；

对于C，，

当且仅当，即时取等号，C错误；

对于D，由得，令，

则，其中锐角由确定，显然，

因此当时，，D正确.

故选：ABD

14．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知，则的最小值为______．

【答案】