专题3.4 幂函数【原卷版】.docx

专题3.4幂函数

【核心素养】

1.以常见幂函数为载体，考查函数的奇偶性与周期性，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．

2.与不等式、方程等相结合考查函数的图象、单调性、奇偶性，凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用及数学运算的核心素养．

3.与函数、不等式结合，考查函数性质的综合应用，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．

知识点一

知识点一

幂函数的定义

幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.

知识点二

知识点二

常见的5种幂函数的图象

常见的5种幂函数的图象

知识点三

知识点三

常见的5种幂函数的性质

常见的5种幂函数的性质

函数特征性质

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝xeq\s\up6(\f(1,2))

y＝x－1

定义域

R

R

R

[0，＋∞)

{x|x∈R，且x≠0}

值域

R

[0，＋∞)

R

[0，＋∞)

{y|y∈R，且y≠0}

奇偶性

奇

偶

奇

非奇非偶

奇

常考题型剖析

常考题型剖析

题型一：幂函数的概念

【典例分析】

例1-1.（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知幂函数满足，则的值为（????）

A．2 B． C． D．

例1-2.（2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知幂函数的图象过点，则___________.

【知识拓展】

1.形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数．

2.幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，往往利用待定系数法，求幂指数，得到函数解析式，进一步解题.

【变式训练】

变式1-1.（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则的值为（????）

A．2 B．3 C．4 D．9

变式1-2.（2023·上海黄浦·统考二模）若函数的图像经过点与，则m的值为____________．

题型二：幂函数的图象

例2-1.（2023·全国·高三专题练习）函数的图像大致为（????）

A．B．C．D．

例2-2.（2023·全国·高三对口高考）给定一组函数解析式：

①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．

如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（????）

????????

??????

A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤

C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①

例2-3.（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（????）

A． B．

C． D．

例2-4.（2023·陕西榆林·校考模拟预测）直线：与，轴的交点分别是，，与函数，的图像的交点分别为，，若，是线段的三等分点，则的值为________.

【规律方法】

函数y＝xα的形式的图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．

【变式训练】

变式2-1.（2011·陕西·高考真题）函数的图象是()

A．B．C． D．

变式2-2.（2023春·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）设，若幂函数定义域为R，且其图像关于y轴成轴对称，则m的值可以为（????）

A．1 B．4 C．7 D．10

变式2-3.（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（????）

A．p，q均为奇数，且

B．q为偶数，p为奇数，且

C．q为奇数，p为偶数，且

D．q为奇数，p为偶数，且

变式2-4.（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为________．

题型三：幂函数的性质

【典例分析】

例3-1.（1993·全国·高考真题）函数y=在[－1,1]上是()

A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数

C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数

例3-2．（2007·山东·高考真题）设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为（）

A． B． C． D．

例3-3．（2023·浙江·高三专题练习）已知，则（????）

A． B．

C． D．

例3-4．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知幂函数，若，则a的取值范围是__________.

【方法技巧】

1.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．