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高中数学专题排列组合中的分组分配问题

Ⅰ.概述

分组分配问题是排列、组合问题的综合，是排列组合问题中的一

个重点和难点；某些排列组合问题看似非分配问题，实际上也可运用

分配问题的方法来解决。解决分组分配问题的一个基本指导思想就是

先分组后分配。

分组分配问题特征：

（1）分组分配特征：问题涉及把相关的元素进行分组然后再分配；

（2）分组的类型：整体均分、部分均分和不等分三种；无论分成

几组，都应注意只要有元素的个数相等的组存在，就需要考虑均分的

现象（即：整体平均分组；或部分平均分组）；

（3）均分特征：只要出现所分组中的元素个数相等，则存在重复

出现的情况，作为分组只能计为一种。

Ⅱ.排列组合中的分组与分配问题

一.分组与分配有关概念

1.将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题；分组问

题有不平均分组、整体平均分组和部分平均分组三种情况。

2.将n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象（位置），

称为分配问题；分配分定向分配和不定向分配两种问题；

3.分组问题和分配问题的区别：前者组与组之间只要元素个数相

同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然

是有区分的，对于分配问题必须先分组后分配，而分组通常与组合相

关，分配通常与排列相关。

二．基本的分组问题

（一）分组问题的基础题例

【题例1】六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种

不同的分组方法？

(1)每组两本.

(2)一组一本，一组二本，一组三本.

(3)一组四本，另外两组各一本.

【分析】：(1)分组与顺序无关，是组合问题。注意，这里6个元

素，分3组，每组2个元素，所求的分组种类：不是“从6个元素中

取2个元素的组合数”，而是“6选2，选3次，分成3组，所得的

组数”；在这样的分组中，由于要选3次，且平均选取，就存在选取

的顺序，故所得组中出现重复的组，重复的种数即所分组的全排列数。

若一组分组为：（1，2）（3，4）（5，6），另一组分组为（3，

4）（1，2）（5，6），则这样的两组只能算一组，不能算作两组；

若一组分组为：（1，2）（3，4）（5，6），另一组分组为（1，3）

（2，4）（5，6），则这样的两组应算作两个不同的分组；在（1，2）

（3，4）（5，6）与（1，3）（2，4）（5，6）这两个分组中出现

的“从6个元素中选取2个元素的组合”则有5个，且其中的组合（5，

6）只能算作1个计数；

三．基本的分配问题

（一）定向分配问题：将所给元素按要求分配到指定对象

【题例2】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件

下各有多少种不同的分配方法？

（1）甲两本、乙两本、丙两本.

（2）甲一本、乙两本、丙三本.

（3）甲四本、乙一本、丙一本.

(二)不定向分配问题：将所给元素按要求分配到非指定对象

【题例3】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下

各有多少种不同的分配方法？

（1）每人两本.

（2）一人一本、一人两本、一人三本.

（3）一人四本、一人一本、一人一本.

Ⅲ.分组-分配问题类型与方法探究

一．分组问题的基本类型--思想方法

（一）分组问题类型1--非均匀分组（分步-组合法）：

“非均匀分组”是指将所给元素分成元素个数彼此不相等的若干

组。

【题例4】7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分

法？

（1）分成3组，分别为1人、2人、4人；

（2）选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。

（二）分组问题类型2--均匀分组（去除重复法）：

“均匀分组”是指将所有元素分成各组中元素个数相等的组，或

部分组中元素个数相等的组；

均匀分组类型：（1）整体均分--全部平均分组；（2）部分均分-

-局部平均分组。

1.均匀分组--整体均分（去除重复法）

【题例5】7人参加义务劳动，选出6