专题2 蒙日圆 微点2 蒙日圆的推广（学生版）.docx

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专题2蒙日圆

微点2蒙日圆的推广

【微点综述】

上一微点我们讨论了椭圆中的蒙日圆，类似的我们可以的到双曲线和抛物线中的蒙日圆，本为专题进一步讨论蒙日圆的推广．

1．蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广

【定理1】双曲线的两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：（如图3）．

图3图4

【定理2】抛物线的两条互相垂直的切线交点的轨迹是该抛物线的准线：（如图4，可以看作半径无穷大的圆）．

注意：双曲线中只有当时才有蒙日圆，此时离心率满足；抛物线的蒙日圆恰好为其准线（直线可以看作半径为无穷大的圆）．总结可得如下的蒙日圆定理：

【定理3】过圆锥曲线外一点作两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是一个圆，这个圆被称为蒙日圆，又叫外准圆．

证明：设圆锥曲线的方程为，其中系数矩阵满秩（即系数行列式）．

设平面内有一点，不在上．过作的切线，当切线斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程可设为．联立曲线方程，消去得

，

为书写方便，令，由切线与圆锥曲线只有一个交点可得，即：

，

观察上式，当把代入之后可知前三项都含有，可写出二次项系数为．同理，第一、四、六项含有常数项，可以写出常数项为．∵两条切线互相垂直，斜率之积为，因此由韦达定理得，整理得到

．

当切线斜率不存在时，很明显两条切线分别为．联立与的方程，得到，由得，同理，，

两个方程相加，恰好得到此时的坐标满足方程

，

∴无论切线斜率是否存在，的轨迹方程均为

（**）．

习惯上用表示动点坐标，上式的均改为，得到的轨迹方程

（**）．

∵和的系数相同，且缺少含的项，∴方程（**）表示一个圆，即的轨迹是一个圆（实圆、点圆、虚圆均可）．证毕．

说明：（1）令，代入（**）可得椭圆的蒙日圆方程：．定理1得证．

（2）令，代入（**）可得双曲线的蒙日圆方程：．当时，，双曲线的蒙日圆存在．但当时，，方程退化为一个点．此时易证过的直线要么和双曲线有两个交点，要么没有交点（∵双曲线关于中心对称），∴过无法作双曲线的切线，自然也不存在两条互相垂直的切线．而当时，，于是方程表示一个虚圆（无法在坐标平面上表示），∴平面内不存在双曲线的两条互相垂直的切线．综上，只有当时（或离心率时），双曲线才有蒙日圆．定理2得证．

（3）令，代入（**）可得抛物线的蒙日圆方程：．这恰好是抛物线的准线方程，因此抛物线的蒙日圆是其准线．这也可以从蒙日圆的一般方程中看出，因抛物线满足，∴蒙日圆方程的二次项系数为，方程退化为一条直线．定理3得证．由此还能得出一个推论：过抛物线准线上的一点作抛物线的两条切线，这两条切线互相垂直．

2．蒙日圆的其他推广

【定理4】（1）椭圆的方程为的两条斜率之积为的切线交点的轨迹方程是；

（2）双曲线的两条斜率之积为的切线交点的轨迹方程是．

【定理5】过椭圆上任一点作椭圆的两条切线，则

①当时，所作的两条切线垂直；

②当时，所作的两条切线斜率之积为．

【定理6】（1）椭圆的两条斜率之积为的切线交点的轨迹是：

①当时，即圆（但要去掉四个点）；

②当且时，即椭圆（但要去掉四个点）；

③当时，即两条直线在椭圆外的部分（但要去掉四个点）；

④当时，即双曲线在椭圆外的部分（但要去掉四个点）；

⑤当时，即即双曲线在椭圆外的部分（但要去掉四个点）．

（2）双曲线的两条斜率之积为的切线交点的轨迹是：①当时，即圆；②当时，即双曲线；

③当或时，即椭圆；④当时，不存在．

（3）抛物线的两条斜率之积为的切线交点的轨迹是：

①当时，即直线；②当时，的方程为．

3．典型例题

例1．（2022·江苏·金陵中学二模）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上．该圆称为椭圆的“蒙日圆”若椭圆的离心率为，则椭圆的“蒙日圆”方程为（）

A．或B．或

C．或D．或

【答案】C

【分析】分类讨论和，当时，根据离心率求出，然后在椭圆上取两点，并写出对应的切线方程求出交点，进而求出圆半径即可；对于的情况与的方法步骤一致．

【解析】若，则，即，∴，

由于椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，

不妨取两点，则两条切线为和，∴两条切线的交点为，且点在蒙日圆上，∴半径为，∴蒙日圆为；

若，则，即，∴，

由于椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，

不妨取两点，则两条切线为和，∴两条切线的交点为，且点在蒙日圆上，∴半径为，∴蒙日圆为．

综上：椭圆的“蒙日圆”方程为或，故选C．

【评注】由已知条