专题2 蒙日圆 微点2 蒙日圆的推广(学生版).docx

专题2 蒙日圆 微点2 蒙日圆的推广(学生版).docx

  1. 1、本文档共12页,可阅读全部内容。
  2. 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
  3. 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载
  4. 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
查看更多

答案第=page11页,共=sectionpages22页

答案第=page11页,共=sectionpages22页

专题2蒙日圆

微点2蒙日圆的推广

【微点综述】

上一微点我们讨论了椭圆中的蒙日圆,类似的我们可以的到双曲线和抛物线中的蒙日圆,本为专题进一步讨论蒙日圆的推广.

1.蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广

【定理1】双曲线的两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆:(如图3).

图3图4

【定理2】抛物线的两条互相垂直的切线交点的轨迹是该抛物线的准线:(如图4,可以看作半径无穷大的圆).

注意:双曲线中只有当时才有蒙日圆,此时离心率满足;抛物线的蒙日圆恰好为其准线(直线可以看作半径为无穷大的圆).总结可得如下的蒙日圆定理:

【定理3】过圆锥曲线外一点作两条互相垂直的切线,那么这一点的轨迹是一个圆,这个圆被称为蒙日圆,又叫外准圆.

证明:设圆锥曲线的方程为,其中系数矩阵满秩(即系数行列式).

设平面内有一点,不在上.过作的切线,当切线斜率存在时,设切线斜率为,则切线方程可设为.联立曲线方程,消去得

为书写方便,令,由切线与圆锥曲线只有一个交点可得,即:

观察上式,当把代入之后可知前三项都含有,可写出二次项系数为.同理,第一、四、六项含有常数项,可以写出常数项为.∵两条切线互相垂直,斜率之积为,因此由韦达定理得,整理得到

当切线斜率不存在时,很明显两条切线分别为.联立与的方程,得到,由得,同理,,

两个方程相加,恰好得到此时的坐标满足方程

∴无论切线斜率是否存在,的轨迹方程均为

(**).

习惯上用表示动点坐标,上式的均改为,得到的轨迹方程

(**).

∵和的系数相同,且缺少含的项,∴方程(**)表示一个圆,即的轨迹是一个圆(实圆、点圆、虚圆均可).证毕.

说明:(1)令,代入(**)可得椭圆的蒙日圆方程:.定理1得证.

(2)令,代入(**)可得双曲线的蒙日圆方程:.当时,,双曲线的蒙日圆存在.但当时,,方程退化为一个点.此时易证过的直线要么和双曲线有两个交点,要么没有交点(∵双曲线关于中心对称),∴过无法作双曲线的切线,自然也不存在两条互相垂直的切线.而当时,,于是方程表示一个虚圆(无法在坐标平面上表示),∴平面内不存在双曲线的两条互相垂直的切线.综上,只有当时(或离心率时),双曲线才有蒙日圆.定理2得证.

(3)令,代入(**)可得抛物线的蒙日圆方程:.这恰好是抛物线的准线方程,因此抛物线的蒙日圆是其准线.这也可以从蒙日圆的一般方程中看出,因抛物线满足,∴蒙日圆方程的二次项系数为,方程退化为一条直线.定理3得证.由此还能得出一个推论:过抛物线准线上的一点作抛物线的两条切线,这两条切线互相垂直.

2.蒙日圆的其他推广

【定理4】(1)椭圆的方程为的两条斜率之积为的切线交点的轨迹方程是;

(2)双曲线的两条斜率之积为的切线交点的轨迹方程是.

【定理5】过椭圆上任一点作椭圆的两条切线,则

①当时,所作的两条切线垂直;

②当时,所作的两条切线斜率之积为.

【定理6】(1)椭圆的两条斜率之积为的切线交点的轨迹是:

①当时,即圆(但要去掉四个点);

②当且时,即椭圆(但要去掉四个点);

③当时,即两条直线在椭圆外的部分(但要去掉四个点);

④当时,即双曲线在椭圆外的部分(但要去掉四个点);

⑤当时,即即双曲线在椭圆外的部分(但要去掉四个点).

(2)双曲线的两条斜率之积为的切线交点的轨迹是:①当时,即圆;②当时,即双曲线;

③当或时,即椭圆;④当时,不存在.

(3)抛物线的两条斜率之积为的切线交点的轨迹是:

①当时,即直线;②当时,的方程为.

3.典型例题

例1.(2022·江苏·金陵中学二模)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点,必在一个与椭圆同心的圆上.该圆称为椭圆的“蒙日圆”若椭圆的离心率为,则椭圆的“蒙日圆”方程为()

A.或B.或

C.或D.或

【答案】C

【分析】分类讨论和,当时,根据离心率求出,然后在椭圆上取两点,并写出对应的切线方程求出交点,进而求出圆半径即可;对于的情况与的方法步骤一致.

【解析】若,则,即,∴,

由于椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点,必在一个与椭圆同心的圆上,

不妨取两点,则两条切线为和,∴两条切线的交点为,且点在蒙日圆上,∴半径为,∴蒙日圆为;

若,则,即,∴,

由于椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点,必在一个与椭圆同心的圆上,

不妨取两点,则两条切线为和,∴两条切线的交点为,且点在蒙日圆上,∴半径为,∴蒙日圆为.

综上:椭圆的“蒙日圆”方程为或,故选C.

【评注】由已知条

文档评论(0)

hyqhyqhyq616 + 关注
实名认证
内容提供者

该用户很懒,什么也没介绍

1亿VIP精品文档

相关文档