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高中数学知识点大全—空间向量与立体几何

一、考点（限考）概要：

、空间向量及其运算1

（1）空间向量的基本知识：

①定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且

仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。

②空间向量基本定理：

ⅰ定理：如果三个向量不共面，那么对于空间任一向量，存在唯一的

有序实数组x、y、z，使。且把叫做空间的一个基底，

都叫基向量。

ⅱ正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正

交基底。

ⅲ单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基

底，通常用表示。

ⅳ空间四点共面：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间中任意一点P，都存

在唯一的有序实数组x、y、z，使。

③共线向量（平行向量）：

ⅰ定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做

共线向量或平行向量，记作。

ⅱ规定：零向量与任意向量共线；

ⅲ共线向量定理：对空间任意两个向量平行的充要条件是：存在实数λ，

使。

④共面向量：

ⅰ定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量；空间的任意两个向量都

是共面向量。

ⅱ向量与平面平行：如果直线OA平行于平面或在α内，则说向量平行于平面α，

记作。平行于同一平面的向量，也是共面向量。

ⅲ共面向量定理：如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是：

存在实数对x、y，使。

ⅳ空间的三个向量共面的条件：当、、都是非零向量时，共面向量定理实际上

也是、、所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线

上有一点在另两条直线所确定的平面内。

ⅴ共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是：存在有序实数对

x、y，使得，或对于空间任意一定点O，有。

⑤空间两向量的夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，

（两个向量的起点一定要相同），则叫做向量与的夹角，记作，且

。

⑥两个向量的数量积：

ⅰ定义：已知空间两个非零向量、，则叫做向量、的数量

积，记作，即：。

ⅱ规定：零向量与任一向量的数量积为0。

ⅲ注意：两个向量的数量积也叫向量、的点积（或内积），它的结果是一个实数，

它等于两向量的模与其夹角的余弦值。

ⅳ数量积的几何意义：叫做向量在方向上的投影（其中θ为向量和的夹

角）。

即：数量积等于向量的模与向量在方向上的投影的乘积。

ⅴ基本性质：

ⅵ运算律：

（2）空间向量的线性运算：

①定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下：

②加法：

③减法：

④数乘向量：

⑤运算律：

ⅰ加法交换律：

ⅱ加法结合律：

ⅲ数乘分配律：

二、复习点睛：

1、立体几何初步是侧重于定性研究，而空间向量则侧重于定量研究。空间向量的引入，

为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了