专练02 不等式恒成立问题【解析版】.docx

专练02不等式恒成立问题

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二次不等式在R上的恒成立问题

1.（2023春·天津红桥·高一天津三中校考期中）关于的不等式的解集为，则的取值范围是（????）.

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分以及，结合二次函数的性质，列出不等式组，求解即可得出答案.

【详解】当时，原不等式可化为在R上恒成立；

当时，由不等式的解集为，

可知应有，解得.

综上所述，的取值范围是.

故选：B.

2.（2022秋·江西宜春·高一校考阶段练习）已知函数的定义域为，则实数的范围________.

【答案】

【分析】利用函数定域为，将问题转化成关于不等式的恒成立问题，从而求出实数的取值范围，得出结果.

【详解】因为函数的定义域为，所恒成立，

当时，恒成立，

当时，则，解得，

综上所述，.

故答案为：.

3．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．

【答案】

【分析】先移项，根据不等式是否为二次不等式分类讨论，当是一次不等式，若对恒成立，只需是恒等式，若是二次不等式，只需开口向上且判别式小于零，建立不等式解出即可.

【详解】解：原不等式可化为对恒成立．

（1）当时，若不等式对恒成立，

只需，解得；

（2）当时，若该二次不等式恒成立，

只需，解得，

所以；

综上：.

故答案为：

4．（2023春·浙江·高一校联考期中）已知对任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，则的最小值为___________.

【答案】/0.25

【分析】由一元二次不等式恒成立得、，将问题化为求的最小值，令则，应用基本不等式求最值，注意取值条件.

【详解】由题设，有，又，则，

又，则，

故存在使成立，则，

所以，令，故，

所以，且，

而，仅当，即等号成立，

所以，仅当且时等号成立，故的最小值为.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：根据一元二次不等式求参数的符号和大小关系，将题设条件化为求的最小值，结合换元法、基本不等式求最值.

5．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）当a为何值时，一元二次不等式(a－4)x2＋10x＋a＜4的解集为R?

【答案】

【分析】根据二次项系数分类讨论．

【详解】时，不等式为，不合题意；

时，不等式为，解集为，

则，解得．

所以当且仅当时，题设不等式的解集为R．

【点评】

1.二次不等式在全集R上恒成立，恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方；

2.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．

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二次不等式在给定区间上的恒成立问题

6．（2023·福建·统考模拟预测）已知，恒成立，则的一个充分不必要条件是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先通过选项求出是什么条件，选出符合题目要求的充分不必要条件即可.

【详解】，，得，A是的必要不充分条件，B是的必要不充分条件，C：是的充要条件，D：是的充分不必要条件．

故选：D．

7．（2023春·江苏泰州·高一泰州中学校考期中）在中，内角，，，.若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设，则，并确定的取值范围，再由关于的一元二次不等式恒成立，求出间的不等量关系，利用的取值范围，即可求出结果.

【详解】在中，，

记，则，

因为，所以，，

从而，

所以可化为，

即恒成立，所以依题有，

化简得，即得恒成立，又由，

得或.

故选：D．

8．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）对于任意实数及，均有，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先将除了以外的量看成常量，运用基本不等式先求出左边表达式的最小值，然后利用分离参数，结合对勾函数性质求解.

【详解】由基本不等式，，故只需要即可，

即对于任意的，恒成立，等价于对任意的，，或.

当时，由于，原式可变形为，记，

根据对勾函数性质在上递减，在上递增，

于是在上递增，此时；

当时，由于，原式可变形为，记，

根据对勾函数性质在上递减，在上递增，于是在上递减，在上递增，

当，当，注意到，故当时，，故.

综上，.

故选：D

9．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数的定义域为，且为与中较大的数，恒成立，则a的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意分析可得对恒成立，对整理分析可得：对恒成立，结合二次函数的性质分析运算.

【详解】∵当时，则，可得；当时，则，可得；

∴当时，，

故原题意等价于对恒成立，

整理得，

∵，则，可得，

故原题意等价于对恒成立