专练09 数学的应用--概率统计考查的二十个热点【解析版】.docx

专练09数学的应用--概率统计考查的二十个热点

热点题型速览

热点题型速览

热点一

热点一

排列、组合问题

1．（2023·全国·统考高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（????）

A．120 B．60 C．30 D．20

【答案】B

【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.

【详解】不妨记五名志愿者为，

假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法，

同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法，

所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种.

故选：B.

2.（2023·全国·统考高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）．

【答案】64

【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.

【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；

（2）当从8门课中选修3门，

①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；

②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；

综上所述：不同的选课方案共有种.

故答案为：64.

【点评】

1.有约束条件的排列问题一般有以下几种基本类型与方法：①特殊元素优先考虑；②对于相邻问题采用“捆绑法”，整体参与排序后，再考虑“捆绑”部分的排序；③对于不相邻问题，采用“插空”法，先排其他元素，再将不相邻元素插入空档；④搞清楚“间隔排列”与“不相邻”的区别；⑤“分排”问题“直排化”处理；⑥对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列数.

2.解组合问题时要注意：①分类时不重不漏；②注意间接法的使用，在涉及“至多”“至少”等问题时，多考虑用间接法(排除法).

3.“球”与“盒”模型的解题策略：(1)明确球与盒放入个数的具体要求；(2)球的编号与盒的编号的要求；(3)明确“隔板法”的应用前提，是将“相同元素”隔开，计算“相同元素”的分隔情况，解题时要慎之又慎.

热点

热点二

排列与组合的综合问题

3．（2023·全国·统考高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（????）

A．30种 B．60种 C．120种 D．240种

【答案】C

【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.

【详解】首先确定相同得读物，共有种情况，

然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，

根据分步乘法公式则共有种，

故选：C.

4.（2023上·江苏盐城·高三盐城中学校联考阶段练习）将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者安排到四个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，那甲恰好被安排在社区的不同安排方法数为（????）

A．24 B．36 C．60 D．96

【答案】C

【分析】分社区只有甲和社区还有另一个志愿者两种类型，利用分步计数原理结合排列组合知识求不同的安排方法数.

【详解】分两种情形：①社区只有甲，则另4人在3个社区，此时有；

②社区还有另一个志愿者，此时有，

，甲恰好被安排在A社区有60种不同安排方法.

故选：C.

热点

热点三

排列、组合与古典概型

5．（2023·全国·统考高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.

【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，

其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，

所以这2名学生来自不同年级的概率为.

故选：D.

6.（2019·广东惠州·高三统考阶段练习）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“任何一个大于的偶数都可以写成两个素数的和”，如.在不超过的素数中，随机选取个不同的数，其和等于的概率是(注：若一个大于的整数除了和它本身外无其他因数，则称这个整数为素数)（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】列举出不超过的素数，可确定总体基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.

【详解】不超过的素数有：，，，，，，，，，，，，共个，

从中随机选取个不同的数，共有个基本事件；

其中两个素数和为的情况有，，，共个基本事件；