专题3.3 函数的奇偶性与周期性【解析版】.docx

专题3.3函数的奇偶性与周期性

【核心素养】

1.以常见函数为载体，考查函数的奇偶性与周期性，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．

2.与不等式、方程等相结合考查函数的单调性、奇偶性，凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用及数学运算的核心素养．

3.与函数、不等式结合，考查函数性质的综合应用，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．

知识点一

知识点一

函数的奇偶性

1.函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数

关于y轴对称

奇函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数

关于原点对称

2.函数奇偶性的几个重要结论

(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.

(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．

(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．即“奇同偶反”.

3．有关对称性的结论

(1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称．

若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．

(2)若f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于x＝a对称；若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．

知识点二

知识点二

函数的周期性

1.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

2．常用结论

周期性常用的几个结论如下：

定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x是恒成立的．

（1）对时，若或（）恒成立，则是的一个周期；

（2）对时，若或或（）恒成立，则是的一个周期；

（3）若为偶函数，其图象又关于对称，则是以为一个周期的周期函数；

（4）若为奇函数，其图象又关于对称，则是以为一个周期的周期函数.

（5）若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a－b|；

常考题型剖析

常考题型剖析

题型一：函数奇偶性的判断

【典例分析】

例1-1.（2021·全国·统考高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.

【详解】由题意可得，

对于A，不是奇函数；

对于B，是奇函数；

对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；

对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.

故选：B

例1-2.（2023·北京·北京八十中校考模拟预测）下列函数中，与函数的奇偶性、单调性均相同的是（????）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】判断函数的奇偶性和单调性，再判断选项AC的奇偶性，排除AC，判断选项B的单调性，排除B，判断选项D的奇偶性和单调性确定结论.

【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，

由，所以函数为奇函数，

因为函数为上的增函数，函数为上的减函数，

所以函数为上的增函数，

对于A，设，函数的定义域为，定义域关于原点对称，

因为，，

因为，所以函数不是奇函数，A错误；

对于B，设，则，

故函数不是其定义域上的增函数，B错误；

对于C，设，函数的定义域为，定义域关于原点对称，

因为，所以函数为偶函数，C错误；

对于D，设，则的定义域为，定义域关于原点对称，

又，所以函数为奇函数，

又函数为上的增函数，D正确；

故选：D.

【知识拓展】

(1)奇、偶函数定义域的特点．

由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)奇、偶函数的对应关系的特点．

①奇函数有f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?eq\f(f?－x?,f?x?)＝－1(f(x)≠0)；

②偶函数有f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?eq\f(f?－x?,f?x?)＝1(f(x)≠0)．

(3)函数奇偶性的三个关注点．

①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；

②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合；

③