专题3.6 对数与对数函数【原卷版】.docx

专题3.6对数与对数函数

【核心素养】

1.以对数函数为载体，考查函数的单调性、待定系数法、换元法等，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．

2.与不等式、方程等相结合考查函数的图象、单调性、奇偶性，凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用及数学运算的核心素养．

3.与幂函数、指数函数、二次函数、不等式、方程等结合，考查函数的实际应用以及函数性质的综合应用，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．

知识点一

知识点一

对数及其运算

1.对数的概念

（1）如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

（2）对数的性质：①负数和零没对数；②；=3\*GB3③；

（3）对数恒等式alogaN＝N

2.对数的运算法则

如果a0且a≠1，M0，N0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN；

②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM(n∈R)；

④logamMn＝eq\f(n,m)logaM(m，n∈R，且m≠0).

(3)对数的重要公式

①换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1)；

②logab＝eq\f(1,logba)，推广logab·logbc·logcd＝logad.

=3\*GB3③logaab＝b(a0，且a≠1)

知识点二

知识点二

对数函数及其性质

1.概念：函数y＝logax(a0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).

2.对数函数的图象与性质

a1

0a1

图象

性质

定义域：(0，＋∞)

值域：R

当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)

当x1时，y0；

当0x1时，y0

当x1时，y0；

当0x1时，y0

在(0，＋∞)上是增函数

在(0，＋∞)上是减函数

3.对数函数的图象规律

(1)不管a1还是0a1，底大图低；

(2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴．

知识点三

知识点三

反函数

对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

常考题型剖析

常考题型剖析

题型一：对数的化简、求值

【典例分析】

例1-1.（2022·浙江·统考高考真题）已知，则（????）

A．25 B．5 C． D．

例1-2.（2022·天津·统考高考真题）化简的值为（?????????）

A．1 B．2 C．4 D．6

例1-3.（2020·全国高考真题（理））已知5584，13485．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）

A．abc B．bac C．bca D．cab

【规律方法】

1.对数性质在计算中的应用

(1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0.

(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．

2.对数运算的一般思路

(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．

(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．

【变式训练】

变式1-1.（2020·全国·统考高考真题）设，则（????）

A． B． C． D．

变式1-2.（2023·全国·高三专题练习）若，则的值为（）

A． B．3 C．4 D．

变式1-3.（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知，，且，则的最小值为（????）

A． B．21 C．25 D．

题型二：对数函数的解析式及其求值

例2-1.（2023·广东东莞·统考模拟预测）已知函数，则（????）

A．4 B．5 C．6 D．7

例2-2.（2023·全国·高三专题练习）写出一个具有性质①②③的函数____________.

①的定义域为；

②；

③当时，.

例2-3.（2023·北京·统考高考真题）已知函数，则____________．

【规律方法】

1.对数函数的解析式同时满足：

①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.

2.确定对数函数的解析式，常常利用“待定系数法”.

3.涉及对数函数求函数值问题，有时直接将自变量值代入，有时需先求函数的解析式，再求函数值.

【变式训练】

变式2-1.（2006·辽宁·高考真题）设，则______．

变式2-2.（2022秋·北