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专题3.9函数的实际应用
【核心素养】
以各种基本初等函数为载体,结合实际问题,求解利润问题、价格问题,以及科学研究、社会生活中的热点问题,凸显数学建模、逻辑推理、数学运算的核心素养.
知识点一
知识点一
常见的几种函数模型
(1)一次函数模型:y=kx+b(k≠0).
(2)反比例函数模型:y=eq\f(k,x)(k≠0).
(3)二次函数模型:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0).
(4)指数函数模型:y=a·bx+c(b0,b≠1,a≠0).
(5)对数函数模型:y=mlogax+n(a0,a≠1,m≠0).
知识点二
知识点二
指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质
函数
性质
y=ax
(a1)
y=logax
(a1)
y=xn
(n0)
在(0,+∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0,当xx0时,有logaxxnax
知识点三
知识点三
解答函数应用题的一般步骤
=1\*GB3①审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;
=2\*GB3②建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;
=3\*GB3③求模:求解数学模型,得出数学结论;
=4\*GB3④还原:将数学问题还原为实际问题的意义.
常考题型剖析
常考题型剖析
题型一:一次函数与分段函数模型
【典例分析】
例1-1.(2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模)某种货物的进价下降了x%,但销售价不变,于是这种货物的销售利润率()由原来的15%增加到25%,则x的值等于(????)
A.8 B.15 C.25 D.20
例1-2.(2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测)某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三挡:月用电量不超过200度的部分按元/度收费,超过200度但不超过400度的部分按元/度收费,超过400度的部分按元/度收费.
??
(1)求某户居民月用电费(单位:元)关于月用电量(单位:度)的函数解析式;
(2)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这100户居民中,今年1月份用电费用不超过260元的占,求的值.
【规律方法】
1.在现实生活中,很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型,其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0).确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法.
2.分段函数模型的求解策略
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,如出租车票价与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解.分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其作为几个不同问题,将各段的规律找出来,再将其合在一起.要注意各段变量的范围,特别是端点.
(2)构造分段函数时,要力求准确、简捷,做到分段合理、不重不漏.
(3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者).
【变式训练】
变式1-1.(2023·全国·高三对口高考)2005年10月27日全国人大通过了关于修改个人所得税的决定,工薪所得减去费用标准从800元提高到1600元也就是说原来月收入超过800元部分就要纳税,2006年1月1日开始超过了1600元才需要纳税,若税法修改前后超过部分的税率相同,如下表:
级数
全月应纳税所得额
税率
1
不超过500元
5
2
500~2000元
10
3
2000~5000元
15
某人2005年9月交纳个人所得税123元,则按照新税法只要交税(????)元.
A.43 B.2280 C.680 D.不能确定
变式1-2.(2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测)某公司按销售额给销售员提成作奖金,每月的基本销售额为20万元,超额中的第一个5万元(含5万元以下),按超额部分的提成作奖金;超额中的第二个5万元,按超额部分的提成作奖金;……后每增加5万元,其提成比例也增加一个.如销售员某月销售额为27万元,则按照合约,他可得奖金为元.试求:
(1)销售员某月获得奖金7200元,则他该月的销售额为多少?
(2)若某销售员、月份的总销售额为60万元,且两月都完成基本销售额,那么他这两个月的总奖金的最大、最小值分别是多少?
题型二:函数模型的拟合问题
例2-1.(2023·全国·高三专
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